¿Hay un número infinito de primos que sean múltiplos de$n$ separados?

Question

¿Hay un número infinito de primos que sean múltiplos de $n$ separados? Es decir, tome $n\in \mathbb{N}$ , luego hay un número infinito de primos que están separados por $\textbf{any}$ de los números en el conjunto siguiente $$ \{n,2n,3n,4n,\ldots \}. $ $

Answer 1

Los números primos son infinitos, por lo tanto, según el principio de casillero $\forall n \exists k $ st hay un número infinito de números primos $p\equiv k \pmod n$ . Cualquier pareja entre estos números primos tiene una diferencia que es un múltiplo de $n $ .

Answer 2

Sí. El Teorema de Dirichlet proporciona la prueba. Deje $n$ ser cualquier número entero positivo. Deje $a$ ser un número que sea primo relativo a $n$. Entonces por Dirichlet del Teorema existen infinitos números primos en la progresión aritmética $a+kn$, $k\in \mathbb{N}.$ dos de Cualquiera de estos números primos están separados por un múltiplo de $n$, por lo tanto existen infinitos valores de $k\in \mathbb{N}$ , para los que hay una primer diferencia de tamaño de $kn$.