¿Es una superficie cerrada lisa 3-espacio euclidiano rígido?

Question

Clásico teorema de Cohn-Vossen: cerrado superficie convexa en Euclidiana 3-el espacio no puede ser deformado isométricamente.

Robert Connelly encontrado un ejemplo de una superficie poliédrica que puede ser deformado isométricamente. Un metal con bisagras de modelo se puede encontrar en la IES.

Pero, ¿qué acerca de un arbitrario no-necesariamente-convexa, lisa superficie cerrada? Es necesariamente rígido? O tal vez podría ser posible hacer una suave versión de Connelly ejemplo? Es fácil hacer suave "bisagras". El verdadero desafío es encontrar un modelo suave de los vértices, que es donde dos o más bisagras cumplir.

Answer 1

En el Springer Enciclopedia en Línea hay un artículo relevante aquí: http://eom.springer.de/T/t092810.htm

Se dice que un teorema debido a Kuiper en 1955 implica que no lisa superficie cerrada en R^3 es C^1-isométricamente rígido. Creo que la referencia es: N. H. Kuiper, En C^1-isométrica incrustaciones, Indag. De matemáticas. XVII, (1954) 545-556 y 683-689.

Por otro lado se dice que no se sabe nada de la C^2 caso, y un libro sobre los Problemas Abiertos en la Geometría también se afirma que a partir de 1994 es todavía abierto, ver http://books.google.fr/books?id=S5CD-YceX6QC&pg=PA62

Como para poliedros, Schlenker tiene una rigidez de criterio para no convexa, preprint aquí: http://www.math.univ-toulouse.fr/~schlenker/textos/rcnp.pdf (lamentablemente carece de los dibujos, la publicación de referencia es Discreto y Geometría Computacional, 33 (2005):2, 207-221).

(No soy experto en esto, solo buscar un poco en google).

Answer 2

Al parecer, la pregunta sigue abierta para los suficientemente suave de las superficies y las deformaciones (que es, al menos,$C^2$).

Mike Anderson escribió un preprint pretenda probar local de la rigidez de lo suficientemente suave de las superficies, pero fue retirada más tarde.

Idjad Sabitov y sus colaboradores han estado trabajando en esta cuestión, desarrollar, por ejemplo, una teoría de orden superior isométrica deformaciones, ver, por ejemplo, Sabitov, I. Kh. Locales teoría de curvado de las superficies [MR1039820 (91c:53004)]. La geometría, III, 179-256, Enciclopedia de Matemáticas. Sci., 48, Springer, Berlín, 1992. Él conjeturas de que el local de la rigidez tiene para la analítica de superficies.