Gráficos para los que un estudiante de cálculo puede calcular razonablemente la arclitud

Question

Dada una función diferenciable de valor real $f$ la arclitud de su gráfico en $[a,b]$ viene dada por

$$\int_a^b\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\,\mathrm{d}x$$

Para muchas opciones de $f$ esta puede ser una integral difícil de evaluar, especialmente para los estudiantes de cálculo que aprenden por primera vez la integración. He encontrado algunas opciones de $f$ que hacen que el cálculo sea bastante fácil:

• Dejar $f$ ser lineal es súper fácil, pero entonces ni siquiera necesitas la fórmula.
• Tomando $f$ de la forma $(\text{stuff})^{\frac{3}{2}}$ puede funcionan muy bien si $\text{stuff}$ se elige con cuidado.
• Calcularla para $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ está bien si recuerdas que $\int\frac{1}{x^2+1}\,\mathrm{d}x$ es $\arctan(x)+C$ .
• Dejar $f(x) = \ln(\sec(x))$ resultados en $\int\sec(x)\,\mathrm{d}x$ que clásicamente apesta.

Pero parece que la mayoría de las opciones de $f$ sugiera al menos a sustitución trigonométrica $f'(x) \mapsto \tan(\theta)$ y será computacionalmente intensivo, y no es razonable pedirle a un estudiante que lo haga. ¿Hay otros ejemplos de una función $f$ tal que el cálculo de la arclitud del gráfico de $f$ ¿no será demasiado arduo pedirle a un estudiante de cálculo que lo haga?

Answer 1

Ferdinands, en su breve nota "Encontrar curvas con longitud de arco computable" También comenta la dificultad de encontrar ejemplos adecuados de curvas con arclitudes fácilmente calculables. En particular, da una receta sencilla para encontrar ejemplos: dejemos que

$$f(x)=\frac12\int \left(g(x)-\frac1{g(x)}\right)\,\mathrm dx$$

para algún tipo de diferenciaciones adecuadas $g(x)$ a lo largo del intervalo de integración deseado para la arclitud. La arclitud sobre $[a,b]$ viene dada por

$$\frac12\int_a^b\left(g(x)+\frac1{g(x)}\right)\,\mathrm dx$$

$g(x)=x^{10}$ y $g(x)=\tan x$ son algunas de las funciones de ejemplo dadas en el artículo que se prestan a esta receta.

Answer 2

Otro ejemplo: puedes conseguir $$ \sqrt{1 + [f'(x)]^2} = ax + \frac 1{2ax} $$ tomando $f(x) = \frac 12 a x^2 - \frac 1{4a} \ln(x)$ para cualquier constante $a$ .

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Una forma posiblemente útil de replantear la pregunta: nos gustaría saber para qué funciones "agradablemente integrables" $g(x)$ ¿existe un "razonable" $f(x)$ Satisfaciendo a $\sqrt{1 + [f'(x)]^2} = g(x)$ . En otras palabras, para los que son agradablemente integrables $g(x)$ hace la función $\sqrt{[g(x)]^2 - 1}$ tiene una integral de forma cerrada?

Answer 3

Voy a disentir aquí (como a menudo) y decir: NO .

El problema es ver todo como algo que debe ser calculado, "resuelto", o manipulado de alguna manera en algún conjunto, en forma de patrón.

Como es sabido, pocas de estas integrales son susceptibles de ser representadas exactamente en términos de algo encontrado en este punto (si es que hay algo en todo ). Cualquier ejercicio que puedas dar efectivamente equivale a poco más que a un ejercicio de integración simbólica, y no sería especialmente significativo. Si quieres hacer un ejercicio de integración simbólica, entonces deberías haberlo hecho ya por su propio bien.

Lo que sería mucho mejor es dar ejercicios para establecer la integral de la longitud de arco en una variedad de escenarios en los que puede ser requerida - NO para resolverla. Reconocer que lo que se pide es una longitud de arco, y luego mostrar la comprensión de la definición de integral escribiendo ese caso específico. Mucha gente tiene nociones como que "esta integral no existe" porque no se puede escribir una fórmula o que, de alguna manera, si no se tiene "una fórmula", no se "entiende" realmente el problema. Y el hecho es que la mayoría de las integrales de la vida real no tienen una fórmula sencilla o -quizás una mejor manera de verlo es, la integral es la fórmula.

Hay que desengañar a la gente de la noción de que hay una "verdadera" o "correcta" representación para un objeto matemático, ya sea un número, una función, un espacio de algún tipo o cualquier otra cosa, y en su lugar entender y sentirse cómodo con las ventajas de trabajar con diferentes objetos. Y esto no termina aquí - si acaso, esto ya es demasiado tarde, porque demasiados piensan cosas como " $\pi$ es infinito", lo que no es el caso: una representación es infinito (pero no es necesario que todos lo sean, ¡sólo te he dado uno! $\pi$ .), y esa representación es en realidad bastante inútil en lo que respecta a una representación exacta porque no tiene un patrón discernible, mientras que por otro lado, otras representaciones infinitas, como

$$\pi = 4\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\right)$$

son mucho más transparentes. (Y el $4$ incluso tiene un significado: la parte derecha es el área de un cuarto de círculo unitario. 4 de ellos forman el conjunto, que tiene un área $\pi$ .) $\pi$ Sin embargo, es un número finito: sólo un poco más de 3.

Así que dales casos realistas e interesantes. Dígales que no es necesario que lo resuelvan, sino que entiendan la fórmula. También se puede dar una comprobación numérica de un valor aproximado de la longitud de arco, de modo que se pueda utilizar un ordenador para verificar la corrección. Por ejemplo, podemos sugerir algo como esto, un problema muy natural de la vida real:

En el transcurso de su viaje anual, la Tierra se desplaza alrededor del Sol en una órbita que es, por aproximación, una elipse, con una excentricidad de $e_E = 0.016\ 7086$ y un semieje mayor de $a_E = 149.598\ \mathrm{Gm}$ . Que esta elipse se encuentre en la $xy$ -planea, y escribe, desde los primeros principios:

1. la ecuación de la elipse en forma estándar en términos de $e_E$ y $a_E$ con las coordenadas siendo las distancias en gigámetros (Gm),
2. la integral de la longitud de arco de un cuarto de órbita,
3. la integral de la longitud de arco de una órbita completa, es decir, la distancia que recorre la Tierra en un año,
4. Utiliza un ordenador, Wolfram Alpha u otra herramienta de cálculo para aproximar numéricamente la integral con los valores dados, y comprueba que la longitud del cuarto de órbita es de aproximadamente 234,0 Gm, y que la órbita completa es igualmente de aproximadamente 936,0 Gm.

Y estoy seguro de que podría encontrar muchos, muchos ejemplos emocionantes de esta manera. Y unos pocos podrían tener una solución - podrías marcarlos, por ejemplo, dar una catenaria (cadena colgante), y señalarlo ("¡Esta sí que se puede reducir a una fórmula elemental! Hazlo").

Answer 4

Este ejemplo $$ y = a\cosh \frac{x}{a} $$ es bastante sencillo para los cálculos.

Answer 5

Puedes probar $f(x)=\dfrac{\sqrt{a^2e^{2ax}-1}-\tan^{-1}\sqrt{a^2e^{2ax}-1}}{a}$ que tiene una longitud de arco $e^{ax}-1$ y no es demasiado difícil de trabajar siempre que recuerdes $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan^{-1}x$ .

Pero aparte de eso, siempre puedes definir su función como una integral no resuelta, $f(x)=\int\sqrt{L'(x)^2-1}\ \mathrm{d}x$ . Entonces, aunque la función en sí no tenga una forma cerrada, se puede definir una forma cerrada para la longitud de arco, $L(x)$ . A continuación, los alumnos pueden utilizar sus conocimientos sobre las reglas de integración y el teorema fundamental del cálculo para calcular la longitud del arco.

Por ejemplo, tome $f(x)=\int \sqrt{\sec^4x - 1} \ \mathrm{d}x$ que tiene una forma cerrada terriblemente difícil de manejar cuando se resuelve la integral. Los estudiantes podrían calcular la longitud de arco como

$$\begin{aligned}L(x)&=\int\sqrt{1+{\left({\int \sqrt{\sec^4x - 1}\ \mathrm{d}x}'\right)}^2}\ \mathrm{d}x\\ &=\int\sqrt{1+\left[\sqrt{\sec^4x - 1}\right]^2}\ \mathrm{d}x\\ &=\int{\sec^2x}\ \mathrm{d}x\\ &=\tan x+C \end{aligned}$$

Lo que tiene la gratificación añadida de reducir la integralidad en una conclusión satisfactoriamente ordenada. Entre bastidores, esto funciona porque elegimos $L(x)=\tan(x)$ cuando definimos $f(x)=\int \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x\right)^2-1}\ \mathrm{d}x$ .

El problema con esa táctica es que sólo podrías hacerlo durante un par de problemas, ya que los alumnos pronto verían que tu elección de $L(x)$ es la longitud del arco. Probablemente también quieras poner una nota en la pregunta para que los estudiantes no necesiten evaluar la forma integral de $f(x)$ De lo contrario, se perderían en él.