Dado que$1 + 2^{1/2} + 3^{1/3} + \dots + 100^{1/100}$ se encuentra estrictamente entre 111 y 112, demuestre que es irracional

Question

Mi título describe completamente la pregunta. Traté de mirar el polinomio $$p(x) = (x-1)(x-2^{1/2})\dots (x-100^{1/100})$$ since the sum naturally appears as the coefficient of $ x ^ {99}$, and then tried examining $ p$ at a few values like $ 1, 99 \ \ & 100$, but didn't seem to be useful. My guess is that the numbers $ 111$ and $ 112 $ realmente no importa, pero el hecho de que la suma no sea un número entero puede ser esencial. ¿Alguna pista?

Answer 1

Siguiente Empy2 comentario, aquí es una solución. Desde $n^{1/n}$ es una raíz de $x^n - n$, $n^{1/n}$ es un entero algebraico para $n = 1,2,\dots,100$. Desde la algebraica de los números enteros forman un anillo, su suma también es un entero algebraico. Porque sabemos de las raíces racionales teorema que $\mathbb{Z}_\mathbb{Q} = \mathbb{Z}$, y dado que el número real $1 + 2^{1/2} + \dots + 100^{1/100}$ no es un número entero, debe ser un número irracional.