Razones para el comportamiento problemático de los estados del átomo de hidrógeno con número cuántico azimutal$\ell=0$

Question

He estado leyendo "Introducción a la Mecánica Cuántica por David J. Griffiths" y en el capítulo 6 - Tiempo-Independiente de la teoría de la Perturbación, cuando estamos explicando la estructura fina a través de la corrección relativista de la sección 6.3.1) y el acoplamiento spin-órbita(6.3.2), nos encontramos con que los estados con $\ell=0$ son a menudo problemático, o en otras palabras, la fórmula general falla para ellos. Por ejemplo:

(a) En la corrección relativista, nos encontramos con que la fórmula general que deriva no funciona para los estados con $\ell=0$ ya que para estos estados $p^2$ es hermitian mientras $p^4$ no es, donde $p$=impulso del operador.

(b) Y en el giro de la órbita de acoplamiento, nos encontramos con que, en general, la fórmula no funciona para $\ell=0$ estados, ya que conduce a una forma indeterminada.

Soy consciente de por qué sucede esto matemáticamente, pero no sé lo que es físicamente, es que si hay algo especial acerca de $\ell=0$ estados?

Answer 1

En el enlace proporcionado por DanielC en los comentarios, un usuario ha señalado que " la $l=0$ estados tienen una torcedura en el origen, es decir, la derivada(~$p$) es discontinua. Ahora, hablando a grandes rasgos la derivada de una función discontinua es una función delta(~$p^2$), y la (doble)derivada de la función delta(~$p^4$) no está bien definido su estado físico. Esta es la razón por la $p^4$ no es un hermitian operador, y por lo tanto no tienen un observable de valor para $l=0$.

Ahora, usted podría preguntarse por qué $l=0$ estados tienen una torcedura en el origen. Si usted mira las formas de las ondas $R_{nl}$, vas a ver que sólo aquellos con $l=0$ tiene un valor distinto de cero en el origen. Aproximadamente, entonces..estos son los únicos estados donde los electrones pueden ser arbitrariamente cerca del núcleo. Ahora, el potencial es infinito en el origen; y por lo tanto también lo es $p^2$, que es un doble derivada de la función de onda. Una manera de tener una infinita doble derivados es tener un discontinua único derivado. Por lo tanto la torcedura.

P. S. La infinitud de $p^2$ en el origen también puede ser aproximadamente visto para ser un reflejo de los clásicos del hecho de que usted tendrá la energía infinita para ir al núcleo. Así, la teoría de la perturbación se rompe aquí. Esto también explica por qué la ecuación de Dirac da el exacto resultado.

Answer 2

Creo que no hay nada físicamente muy interesante acerca de la $l=0$, se encuentra justo fuera de la premisa básica del modelo matemático que se ha desarrollado. Quiero decir, si usted desarrolla una construcción matemática para el acoplamiento spin-órbita, usted no debe esperar que el modelo de trabajo cuando su entrada es: no hay órbita. Sucede mucho con conceptos matemáticos en la física y, a veces, la matemática es lo suficientemente bueno para acomodar incluso el borde de los casos, pero que no es siempre el caso.

Considere la posibilidad de la la segunda ley de Newton. Cuando una fuerza constante, $F$ actúa en un (massles) cuadro de $n$ partículas de masa $m$ cada uno, el cuadro se acelerará en $$a=F/(nm).$$ Para $n=0$ (o $m=0$) este modelo no se aplica porque: ¿Cómo se aplica una fuerza en $n=0$partículas? Do $n=0$ partículas acelerar a velocidad infinita en 0 tiempo por cualquier $F>0$? Puede $a$ realmente ser infinito?