Normas para redondear (números positivos y negativos)

Question

Estoy buscando reglas matemáticas claras sobre cómo redondear un número a $n$ decimales.

Todo parece perfectamente claro para los números positivos. Aquí está, por ejemplo, lo que encontré en math.about.com:

Regla Uno Determine cuál es su dígito de redondeo y mire a su lado derecho. Si ese dígito es $4, 3, 2, 1$ o $0$, simplemente elimine todos los dígitos a su derecha.

Regla Dos Determine cuál es su dígito de redondeo y mire a su lado derecho. Si ese dígito es $5, 6, 7, 8$ o $9$ agregue $1$ al dígito de redondeo y elimine todos los dígitos a su derecha.

¿Pero qué pasa con los números negativos? ¿Aplico las mismas reglas que arriba?

Por ejemplo, ¿cuál es el resultado correcto al redondear $-1.24$ a $1$ decimal? ¿$-1.3$ o $-1.2$?

Answer 1

"Redondear al entero más cercano" es completamente inequívoco, excepto cuando la parte fraccionaria del número a redondear resulta ser exactamente $\frac 1 2$. En ese caso, se debe usar algún tipo de regla para desempatar. Wikipedia (actualmente) lista seis reglas determinísticas para desempatar que se utilizan más o menos comúnmente:

• Redondear $\frac 1 2$ hacia arriba
• Redondear $\frac 1 2$ hacia abajo
• Redondear $\frac 1 2$ alejado de cero
• Redondear $\frac 1 2$ hacia cero
• Redondear $\frac 1 2$ al número par más cercano
• Redondear $\frac 1 2$ al número impar más cercano

De todas estas, personalmente tengo preferencia por "redondear $\frac 1 2$ al número par más cercano", también conocida como "redondeo de banquero". También es la regla de redondeo para la aritmética de punto flotante IEEE 754 utilizada por la mayoría de las computadoras modernas. Según esa regla,

$$\begin{aligned} 0.5 &\approx 0 & 1.5 &\approx 2 & 2.5 &\approx 2 & 3.5 &\approx 4 \\ -0.5 &\approx 0 & -1.5 &\approx -2 & -2.5 &\approx -2 & -3.5 &\approx -4. \\ \end{aligned}$$

Answer 2

De los seis métodos descritos en la respuesta de Ilmari, uno tiene dos ventajas notables: la regla de "redondear hacia arriba".

1. Solo necesitamos mirar un solo lugar para determinar hacia qué dirección redondear.

Cuando nos enfrentamos por ejemplo a 0.15X donde X podría ser cualquier dígito, no tenemos que preocuparnos por cuál podría ser X al redondear a 1 decimal. Si X es cero entonces la regla nos dice que redondeemos a 0.2 y si es no cero de todos modos redondearíamos a 0.2.

Esto también se aplica con la regla de "redondear hacia arriba", pero solo para números positivos. Cualquiera de las otras reglas podría requerir que examinemos X para determinar si debemos redondear a 0.1 o 0.2.

Esta ventaja se mantiene para los números negativos con la regla de "redondear hacia arriba". -0.15X siempre se redondeará a -0.2 independientemente de X. Esto funciona con la regla de "redondear hacia abajo" y "redondear hacia cero" para números negativos, pero no con ninguna otra regla.

"Redondear hacia arriba" es la única regla que tiene este beneficio tanto para números positivos como negativos.

2. Falta de sesgo

Con la regla de "redondear hacia arriba", la mitad de todos los números se redondearán hacia arriba y la mitad hacia abajo cuando se encuentre el dígito 5. Esto significa que para una selección aleatoria de números que redondeas al mismo lugar, el monto promedio esperado que redondearás es 0. Esto es porque cada dígito que redondeas hacia abajo se empareja con un dígito al que redondeas hacia arriba (monto redondeado entre paréntesis):

1 9 (-1 +1)
2 8 (-2 +2)
3 7 (-3 +3)
4 6 (-4 +4)
5 5 (-5 +5) <-- para números negativos y positivos respectivamente

Esta ventaja existe con algunas de las otras reglas, pero con las otras perderías la primera ventaja. Con "redondear hacia arriba" o "redondear hacia abajo" introduces un sesgo porque el dígito 5 siempre resultará en un +5 o un -5 respectivamente.

Nota que esto solo funciona si esperas encontrar números positivos y negativos con igual probabilidad.