Pregunta sobre "Aproximación al cero y límites" en la demostración intuitiva de la derivada del seno

Question

Soy un estudiante de secundaria que espera autoestudiar algo de cálculo introductorio durante el verano. Mientras estudiaba, me encontré con esta demostración intuitiva de la derivada de la función seno, utilizando la trigonometría y el círculo unitario...

Como en la imagen, a medida que d se acerque a cero, los ángulos A y B se acercarán a 90° -- permitiendo que el triángulo ABC se "acerque" de forma similar al triángulo BDE, pero esto significaría que nunca se obtendrían los ángulos exactos del triángulo ABC; por lo tanto, nunca la razón exacta del seno y el coseno para completar la prueba.

¿Es esta pequeña (incluso insignificante) inexactitud inherente al cálculo, o hay un fallo en mi comprensión?

P.D. Por favor, perdóneme si esta es una pregunta estúpida/demasiado básica.

Answer 1

La inexactitud es de orden inferior a las principales magnitudes de interés, y llega a ser totalmente exacta en el límite. La clave de esta cuestión es comprender con precisión lo que significa el límite, y para ello le dirijo a el significado riguroso de un límite . Obsérvese que un curso inicial de cálculo incluirá muchos de estos argumentos "a mano" que parecen ser ligeramente inexactos, y es típicamente en un curso posterior (a menudo llamado "análisis" o "análisis real") que sigue al cálculo donde se presenta esta definición rigurosa y los resultados en el cálculo se ponen sobre una base más sólida.

Para un caso más concreto de esto, considere una expresión como $x+x^2$ en el límite como $x$ tiende a $0$ . Ahora, por supuesto, $x+x^2$ no es igual a $x$ , pero ahora si se imagina que sustituye un valor súper pequeño por $x$ Verá que $x$ se convierte en una gran aproximación para $x(1+x)=x+x^2$ . Nótese que esto es más fuerte que decir que $x$ y $x+x^2$ tienen el mismo límite que $x$ va a $0$ ya que $x^2$ también tiene esta propiedad - sin embargo $x^2$ es un terrible aproximación para $x+x^2$ en el límite cuando $x$ va a $0$ ya que $x^2$ es mucho, mucho, mucho más pequeño que $x$ . (Sé que este ejemplo es algo artificioso, pero en realidad incluye las ideas principales en un escenario particularmente sencillo).

Answer 2

Demostrar un teorema de cálculo utilizando imágenes no es una buena idea.

Si bien es posible que obtengas un esquema vago de los gráficos, también te confundes cuando intervienen conceptos como los límites.

Si se estudia la definición de límites y se lee la demostración de este teorema basada en la definición exacta, se entenderá claramente por qué la derivada de $\sin x$ es $\cos x$ y por qué la imagen no hace un buen trabajo.

Answer 3

Esta es otra forma de imaginar la derivada del seno. Este argumento es para el seno específicamente, y no apela a una maquinaria más general como los límites o incluso la definición de la derivada.

Imagina la $(x, y)$ avión $\mathbb{R}^2$ . A continuación, imagina el círculo unitario. Este es el conjunto de puntos con distancia $1$ desde el origen.

El círculo unitario se define a continuación y se denomina $U$ .

$$ U \stackrel{\mathrm{def}}{=} \left\{ (x, y) \;|\; \sqrt{x^2 + y^2} = 1 \right\} $$

Esta notación se denomina notación de set-builder si no lo has visto antes.

Imagina que empiezas en el punto $(0, 1)$ , que se encuentra hacia el este si la parte superior del gráfico está al norte, y viajando en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo a una velocidad constante.

La circunferencia del círculo unitario es $2\pi$ Así que vamos a normalizar nuestra velocidad para que tome exactamente $2\pi$ segundos para recorrer el círculo una vez.

Nuestra posición en un momento dado viene dada por $s(t)$ ...

$$ s(t) \stackrel{\mathrm{def}}{=} (\cos(t), \sin(t)) $$

$t$ es la cantidad de tiempo en segundos que hemos estado viajando alrededor del círculo. También es el ángulo, en radianes, entre nuestra posición actual, $(0, 0)$ (el origen), y $(0, 1)$ (nuestro punto de partida).

Nuestra velocidad es siempre perpendicular a nuestra posición si estamos trazando un círculo y no otra forma espiral. Esto nos da dos opciones para la fórmula de nuestra velocidad $v$ podrían ser, llamémoslas $v_1$ y $v_2$ .

Tenga en cuenta que una pendiente $m'$ es perpendicular a $m$ si y sólo si $m' = -\frac{1}{m}$ . Existen otras posibilidades para la fórmula de la velocidad como $v_3(t) = (-\sin(t)\cos(t)\,,\, 1) $ pero todas esas otras posibilidades no satisfacen $\mathrm{length}(v_3(t)) = 1$ .

Aquí están los candidatos.

$$ v_1(t) \stackrel{\mathrm{def}}{=} (-\sin(t), \cos(t)) $$

$$ v_2(t) \stackrel{\mathrm{def}}{=} (\sin(t), -\cos(t)) $$

$v_2$ se descarta porque nos da una velocidad de $(0, -1)$ en $t=0$ lo que significa que estamos viajando en el sentido de las agujas del reloj alrededor del círculo en lugar de viajar en sentido contrario a las agujas del reloj . Así que:

$$ \frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t} = v(t) = (-\sin(t), \cos(t)) $$

Así que, si miramos nuestro $y$ coordinar solo, obtenemos $\sin(t)$ ... nuestra velocidad en un momento dado en el $y$ dirección es $\cos(t)$ como se desee.

Answer 4

Si miras la imagen generada por ordenador que hay debajo de tu dibujo, el ángulo $\phi$ es igual al ángulo $\theta$ . Lo que significa que $\Delta\sin(\theta) = h \cos(\theta)$ . Ahora bien, si dejas que $\Delta\theta$ aproximación 0, $\Delta\theta$ se acerca a $h$ . Así que cuando se divide a través, se obtiene: $$\Delta\sin(\theta)/\Delta\theta = \cos(\theta)$$ Espero que esto ayude.