¿Cómo encontrar el área de una región delimitada por una curva cerrada simple?

Question

Tengo la siguiente ecuación:

$$ \frac{p}{(a-x)^2+y^2}+\frac{1-p}{(b-x)^2+y^2}=1 \text{ where } 0\leq p\leq 1 $$ Que representan una simple curva cerrada. Obviamente, cuando $p=0,p=1$ o $a=b$ recuperamos un círculo unitario. Sin embargo, la forma de la curva es más interesante en los otros casos. He aquí un ejemplo para $p=0.2$ , $a=1$ y $b=0$ :

El área dentro de la curva se supone que representa una distribución uniforme, por lo que sospecho que el área es igual a uno (¡a menos que me haya equivocado!). Sin embargo, no sé cómo calcularla. Mi intento fue pasar a coordenadas polares y calcular una integral doble. Sin embargo, tengo problemas para determinar los límites de estas integrales.

Se agradece cualquier sugerencia o consejo general.

Answer 1

El $xy$ -La integración sigue siendo más fácil que las coordenadas polares para este problema.

Debido a $y$ -simetría, la integración es entre los dos puntos de intersección con el $x$ -que puede obtenerse fijando $y = 0$ en la ecuación de la curva (para $a=1$ , $b=0$ ) $$ \frac{p}{(1-x)^2}+\frac{1-p}{x^2}=1 $$ o $$ x^4-2x^3+2(1-p)x-(1-p)=0 $$ Lamentablemente, para el valor general de $p$ Hay que resolverlo numéricamente. En su ejemplo de $p=0.2$ tiene dos raíces reales como se esperaba. Sea $x_1$ y $x_2$ sean las dos raíces que se utilizarán como límites de integración a continuación.

La curva se puede expresar como se indica a continuación reordenando la ecuación original, $$ y(x)= \left[ -x(x-1)+\sqrt{x^2+(1-p)(1-2x)} \right]^{1/2} $$ El área puede entonces integrarse con, $$ A = 2\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx$$

Sin embargo, no se pudo hacer de forma analítica. Pero, es sencillo numéricamente. Para el caso especial de $p=1$ La superficie integral se reduce significativamente y se puede realizar a mano,

$$A_{p=1}=2\int_0^2 \sqrt{x(2-x)}=\pi$$ que es lo que se espera para un círculo unitario.

Answer 2

Despejando denominadores, vemos que nuestra curva es una cuártica $p(x, y) = 0$ . Para valores genéricos de $p, a, b$ es elíptica y, por tanto, no admite una parametrización racional. Probablemente las áreas se pueden calcular en términos de funciones elípticas.

En el caso especial $p = \frac{1}{2}$ la curva es simétrica no sólo respecto a la $x$ -pero también la línea $x = \frac{1}{2}(a + b)$ y al trasladar nuestro sistema de coordenadas también podemos suponer $b = -a$ , $a > 0$ . La curva puede entonces escribirse en la forma simple $$x^4 + 2 x^2 y^2 + y^4 - (2 a^2 + 1) x^2 + (2 a^2 - 1) y^2 + a^2 (a^2 - 1) = 0 .$$ Esto es una biquadra en, digamos, $y$ por lo que podemos resolver para $y$ en términos de $x$ utilizando dos extracciones de raíz cuadrada: $$y = \pm F(x), \qquad F(x) := \frac{1}{2} \sqrt{2 - 4 (a^2 + x^2) + 2 \sqrt{16 a^2 x^2 + 1}} ,$$ y utilizando la cuádruple simetría de la curva encontramos que el área que encierra es $$4 \int_{x_0}^{x_1} F(x) \,dx .$$ Si $b > 1$ entonces $F$ tiene dos raíces positivas, y fijamos $x_0$ para ser la raíz más pequeña y $x_1$ el más grande. Si $0 \leq b \leq 1$ entonces $F$ tiene una raíz positiva, y tomamos $x_1$ para ser esa raíz y tomar $x_0 = 0$ .

Sustituyendo $x = \frac{t}{2 a (1 - t^2)}$ da un integrando sin un radical anidado: $$\int_{t_0}^{t_1} \frac{(t^2 + 1) \sqrt{-4 a^4 t^4 + (8 a^4 - 4 a^2 - 1) t^2 + 4 a^2 (1 - a^2)} \, dt}{(1 - t^2)^3} .$$ (Nota: si $x_0 = 0$ entonces $t_0 = 0$ .) Genéricamente la ocurrencia de la raíz cuadrada del polinomio cuaternario en una expresión algebraica significa que, en el mejor de los casos, escribir explícitamente su antiderivada genéricamente requiere el uso de funciones elípticas, y probar algunos valores de parámetros para $a$ confirma esto.

Sin embargo, si el cuártico tiene una raíz múltiple, podemos sacar un número par de factores del radical, dejando en el peor de los casos la raíz cuadrada del polinomio cuadrático, y tales integrales pueden evaluarse a menudo utilizando técnicas elementales. El discriminante del cuártico es un múltiplo constante de $(8 a^2 + 1)^2 a^6 (a^2 - 1)$ por lo que el único valor positivo de $a$ para el que tiene una raíz múltiple es $a = 1$ . Para este valor del parámetro la curva tiene género $0$ y tiene una auto-intersección en el origen, y la integral se simplifica a $$\int_0^{\sqrt{3} / 2} \frac{(t^2 + 1) t \sqrt{3 - 4 t^2} \,dt}{(1 - t^2)^3} = \frac{2}{3} \pi + \sqrt{3} .$$

Para ilustrar lo complicadas que pueden ser las expresiones explícitas incluso para el caso $p = \frac{1}{2}, b = -a$ para valores no especiales de $a$ , Arce devuelve para $a = 2$ que la zona es $${\frac {\left[6 \sqrt {2} \left( (136 + 8 \sqrt { 3}\sqrt {11} )\,\Pi \left( 1,2\,{\frac { \sqrt {3}\sqrt {11}}{111+\sqrt {3}\sqrt {11}}}, \omega \right) - (135 + 9\,\sqrt {3}\sqrt {11})K \left( \omega \right) +32\,\Pi \left( 1,2\,{\frac {\sqrt {3}\sqrt {11} }{\sqrt {3}\sqrt {11}+15}}, \omega \right) \right) \right] } {\sqrt {111+\sqrt {3}\sqrt {11}} \left( \sqrt {3}\sqrt {11}+15 \right) }},$$ donde $K$ es el integral elíptica completa del primer tipo , $\Pi$ es el integral elíptica incompleta del tercer tipo (pero NB Convención de Maple para estas funciones es diferente a la de Wikipedia), y $\omega := {\frac {\sqrt {2}\sqrt [4]{3}\sqrt [4]{11}}{\sqrt {111+\sqrt {3}\sqrt {11}}}}$ .

Integrando numéricamente, por cierto, encontramos que el área del interior de la curva de ejemplo con parámetros $a = 1, b = 0, p = \frac{1}{5}$ es $3.56910\ldots$ no $1$ como se pretende.