¿Cuál es la longitud de un par de cables después de retorcerlos entre sí?

Question

Dados dos alambres de diámetro D y longitud L, ¿cuál será la nueva longitud después de girar los alambres uno alrededor del otro 1 vuelta?

Me refiero a que cuando empiezas con el par de hilos rectos y los pones contra una balanza, la longitud es L. Cuando los retuerces uno alrededor del otro con fuerza, y colocas el hilo enderezado retorcido contra la balanza, su nueva longitud se reduce.

Y lo que quiero decir con 1 Vuelta es que mirando la sección transversal, si empiezas con el cable Rojo en la parte superior, el Negro en la parte inferior entonces después de media Vuelta el cable Rojo está en la parte inferior y después de otra media Vuelta (o Total 1 Vuelta) el Rojo está en la parte superior de nuevo. Y ambos cables están girando en la misma dirección, digamos en el sentido de las agujas del reloj, cuando se mira la sección transversal. Las secciones transversales sucesivas se verán como el número 8 girando.

¿Supongo que también deberíamos dar la cancha? Pero cuando juegas con un cable de ratón real, retorciéndolo alrededor de sí mismo, te darás cuenta de que no puedes reducir el tono más allá de un cierto grado. Entonces, ¿cuál es ese paso mínimo al retorcer los cables? ¿Cuál es la causa de esa restricción? ¿Puede cuantificarse?

Quizás la pregunta no sea demasiado clara, así que no dude en editarla/aclararla.

Answer 1

El eje de cada cable tomará la forma de un hélice de radio $D/2$ y la altura $H$ . La longitud de cada hélice es (para una vuelta) $$ L=\sqrt{H^2+\pi^2 D^2} $$ y podemos invertirlo para obtener la nueva longitud deseada: $$ H=\sqrt{L^2-\pi^2 D^2}. $$ Es la distancia vertical entre los centros de los extremos de un cable, la longitud total será $H+D\cos\theta$ donde la pendiente $\theta$ de un cable (llamado "paso" en la pregunta) viene dado por $\tan\theta={H\over\pi D}$ (ver figura).

En cuanto a la pendiente mínima, mi respuesta anterior no era correcta. Experimentando con GeoGebra, parece que $\theta_\min=45°$ , que es la pendiente en la figura.

EDITAR.

Las ecuaciones de las dos hélices, si $a=D/2$ y $b=H/(2\pi)$ se puede escribir como: $$ (a\cos t, a\sin t, bt),\quad (-a\cos t, -a\sin t, bt),\quad 0\le t\le 2\pi. $$ Tomemos cualquier punto de la primera hélice, por ejemplo $P=(a,0,0)$ (correspondiente a $t=0$ ). Su distancia $s$ desde cualquier punto de la segunda hélice es: $$ s(t)=\sqrt{2a^2(1+\cos t)+b^2t^2},\quad 0\le t\le 2\pi. $$ Los cables no se cruzan si $s\ge2a$ pero es fácil comprobar que el mínimo de $s(t)$ es $s(0)=2a$ sólo si $b\ge a$ . Por el contrario, si $b<a$ el mínimo de $s(t)$ se produce cuando $t$ es la raíz de ${\sin t\over t}={b^2\over a^2}$ y este mínimo es estrictamente inferior a $2a$ .

Para que los cables no se crucen, debemos por tanto exigir $b\ge a$ que se traduce en un límite de la pendiente: $$ \tan\theta={b\over a}\ge1,\quad\text{i.e.}\quad \theta\ge45°. $$

EDITAR.

Este es el código de GeoGebra para dibujar las dos superficies de la figura anterior:

Surface((a cos(t), a sin(t), b t) + r cos(u) (cos(t), sin(t), 0) + r sin(u) (b sin(t), -b cos(t), a) / sqrt(a² + b²), t, 0, 2π, u, 0, 2π)

Surface((-a cos(t), -a sin(t), b t) + r cos(u) (-cos(t), -sin(t), 0) + r sin(u) (-b sin(t), b cos(t), a) / sqrt(a² + b²), t, 0, 2π, u, 0, 2π)

Dónde $a$ es la distancia de cada hélice al eje de simetría, $b$ es la altura de cada hélice, y $r$ es el radio del cable (que es igual a $a$ en la figura anterior).