Lanzamos un dado de 6 lados muchas veces.
Calculando la diferencia (valor absoluto) entre un rollo y su rollo anterior, ¿se espera que las diferencias se distribuyan uniformemente?
Para ilustrar con 10 rollos:
roll num result diff
1 1 0
2 2 1
3 1 1
4 3 2
5 3 0
6 5 2
7 1 4
8 6 5
9 4 2
10 4 0
¿Se distribuirían uniformemente los valores diff ?
No, no es uniforme
Puede contar las posibilidades igualmente probables $36$ para las diferencias absolutas
second 1 2 3 4 5 6
first
1 0 1 2 3 4 5
2 1 0 1 2 3 4
3 2 1 0 1 2 3
4 3 2 1 0 1 2
5 4 3 2 1 0 1
6 5 4 3 2 1 0
lo que da una distribución de probabilidad para las diferencias absolutas de
0 6/36 1/6
1 10/36 5/18
2 8/36 2/9
3 6/36 1/6
4 4/36 1/9
5 2/36 1/18
El uso de sólo la mayoría de los axiomas básicos acerca de las probabilidades y los números reales, uno puede demostrar que una mucho más fuerte declaración:
La diferencia de dos independientes, idénticamente distribuidas no constante de valores aleatorios $X-Y$ nunca tiene una distribución uniforme discreta.
(Un análogo de instrucción para las variables continuas es probado en Uniforme PDF de la diferencia de dos r.v.)
La idea es que la probabilidad de $X-Y$ es un valor extremo debe ser menor que la probabilidad de que $X-Y$ es cero, porque sólo hay una manera de (digamos) maximizar $X-Y$ mientras que hay muchas maneras de hacer la diferencia cero, debido a que $X$ e $Y$ tienen la misma distribución y por lo tanto pueden iguales el uno al otro. Aquí están los detalles.
Primero observar que la hipotética dos variables $X$ e $Y$ en cuestión, cada uno puede alcanzar sólo un número finito $n$ de los valores con probabilidad positiva, ya que habrá, al menos, $n$ distintas de las diferencias y una distribución uniforme les asigna la misma probabilidad. Si $n$ es infinito, entonces también lo sería el número de posibles diferencias positivo, la igualdad de probabilidad, donde la suma de sus posibilidades sería infinito, lo cual es imposible.
Siguiente, ya que el número de diferencias es finito, no será una más grande entre ellos. La diferencia más grande se puede lograr sólo cuando restando el valor más pequeño de $Y$--vamos a llamar a $m$ y supongamos que tiene probabilidad de $q = \Pr(Y=m)$, desde el mayor valor de $X$--vamos a llamar a que $M$ con $p = \Pr(X=M).$ Porque $X$ e $Y$ son independientes, la probabilidad de que esta diferencia es el producto de estas posibilidades,
$$\Pr(X-Y = M - m) = \Pr(X=M)\Pr(Y=m) = pq \gt 0.\tag{*}$$
Finalmente, debido a que $X$ e $Y$ tienen la misma distribución, hay muchas maneras en que sus diferencias puede producir el valor de $0.$ Entre estas formas son los casos en donde $X=Y=m$ e $X=Y=M.$ Debido a que esta distribución es no constante, $m$ difiere de $M.$ Que muestra los dos casos son distintos eventos y por lo tanto debe contribuir , al menos, una cantidad $p^2 + q^2$ a la probabilidad de que $X-Y$ es igual a cero; es decir,
$$\Pr(X-Y=0) \ge \Pr(X=Y=m) + \Pr(X=Y=M) = p^2 + q^2.$$
Desde los cuadrados de los números no negativos, $0 \le (p-q)^2,$ , de donde se deducen de $(*)$ que
$$\Pr(X-Y=M-m)=pq \le pq + (p-q)^2 = p^2 + q^2 - pq \lt p^2 + q^2 \le \Pr(X-Y=0),$$
muestra la distribución de $X-Y$ no es uniforme, QED.
Un análisis similar de las diferencias absolutas $|X-Y|$ observa que, debido $X$ e $Y$ tienen la misma distribución, $m=-M.$ Esto requiere de un estudio de $\Pr(X-Y=|M-m|) = 2pq.$ La misma técnica algebraica de los rendimientos de casi el mismo resultado, pero existe la posibilidad de que $2pq=2pq+(p-q)^2$ e $2pq+p^2+q^2=1.$ Que el sistema de ecuaciones tiene solución única $p=q=1/2$ correspondiente a una moneda (un "dos caras de morir"). Aparte de esta excepción, el resultado de las diferencias absolutas es el mismo que el de las diferencias, y por las mismas razones ya dadas, es decir, de las diferencias absolutas de dos variables aleatorias iid no pueden estar distribuidos de manera uniforme cuando hay más de dos claras diferencias con probabilidad positiva.
Vamos a aplicar este resultado a la pregunta, que le pregunta sobre algo un poco más complejo.
Modelo independiente de cada rollo de los dados (que podría ser un injusto morir) con una variable aleatoria $X_i,$ $i=1, 2, \ldots, n.$ Las diferencias observadas en estos $n$ rollos son los números de $\Delta X_i = X_{i+1}-X_i.$ Nos podría preguntarse cómo se distribuye uniformemente estos $n-1$ números. Eso es realmente una pregunta acerca de la estadística de las expectativas: ¿cuál es el número esperado de $\Delta X_i$ que son iguales a cero, por ejemplo? ¿Cuál es el número esperado de $\Delta X_i$ igual a $-1$? Etc., etc.
El aspecto problemático de esta pregunta es que el $\Delta X_i$ son no independientes: por ejemplo, $\Delta X_1 = X_2-X_1$ e $\Delta X_2 = X_3 - X_2$ implican el mismo rollo $X_2.$
Sin embargo, esta no es realmente una dificultad. Desde expectativa estadística es aditivo y todas las diferencias tienen la misma distribución, si tomamos cualquier posible valor de $k$ de las diferencias, el número esperado de veces que la diferencia es igual a $k$ en toda la secuencia de $n$ rollos es sólo $n-1$ veces el número esperado de veces que la diferencia es igual a $k$ en un solo paso del proceso. Que de un solo paso expectativa es $\Pr(\Delta X_i = k)$ (para cualquier $i$). Estas expectativas serán los mismos para todos los $k$ (es decir, uniforme) si y sólo si son del mismo para una sola $\Delta X_i.$ Pero hemos visto que no $\Delta X_i$ tiene una distribución uniforme, incluso cuando el morir podría ser parcial. Por lo tanto, incluso en este sentido más débil de frecuencias esperadas, las diferencias de los rollos no son uniformes.
En un nivel intuitivo, un evento al azar sólo pueden ser distribuidos de manera uniforme si todos los resultados son igualmente probables.
Es así que para el evento aleatorio en cuestión -- la diferencia absoluta entre dos rollos de dados?
Basta en este caso para buscar en los extremos -- ¿cuál es el más grande y el más pequeño de los valores de esta diferencia podría tomar?
Obviamente 0 es el más pequeño (estamos mirando las diferencias absolutas y los rollos pueden ser el mismo), y 5 es el más grande (6 vs 1).
Podemos mostrar el caso es no uniforme, mostrando que 0 es más (o menos) probable que ocurra de 5.
A simple vista, sólo hay dos maneras de 5 a ocurrir, si el primer dado es 6 y el segundo 1, o viceversa. ¿De cuántas maneras distintas puede 0 ocurrir?
Presentado por Henry, diferencias de distribuidos de manera uniforme distribuciones no son distribuidos de manera uniforme.
Para ilustrar esto con datos simulados, se puede usar una muy simple R secuencia de comandos:
barplot(table(sample(x=1:6, size=10000, replace=T)))
Vemos que esto produce, de hecho, una distribución uniforme. Ahora vamos a echar un vistazo a la distribución de las diferencias absolutas de dos muestras aleatorias a partir de esta distribución.
barplot(table(abs(sample(x=1:6, size=10000, replace=T) - sample(x=1:6, size=10000, replace=T))))
Otros han trabajado los cálculos, voy a dar una respuesta que parece más intuitivo para mí. Quieres estudiar la suma de dos unifrom r.v. (Z = X + (-Y)), la distribución general es la (discreto) producto de convolución :
$$ P(Z=z) = \sum^{\infty}_{k=-\infty} P(X=k) P(-Y = z-k) $$
Esta suma es bastante intuitivo : la probabilidad de obtener $z$, es la suma de las probabilidades de conseguir algo con X (señalar $k$ aquí) y el complemento de a $z$ con -Y.
Desde el procesamiento de la señal, sabemos cómo el producto de convolución se comportan:
Usted puede entender lo que sucede aquí : como $z$ subir (la línea de puntos vertical) el dominio común de ambos rectángulo subir luego hacia abajo, que corresponden a la probabilidad de obtener $z$.
Más en general sabemos que las únicas funciones que son estables por convolución son los de la gaussiana de la familia. es decir, Sólo la distribución de gauss son estables por la adición (o, más en general, combinación lineal). Esto es también lo que significa que usted no consigue una distribución uniforme de la combinación de distribuciones uniformes.
En cuanto a por qué se obtienen los resultados, la respuesta se encuentra en la Fourrier la descomposición de esas funciones. El Fourrier transformación de un producto de convolución de ser el simple producto de la Fourrier transformaciones de cada función. De esta forma los vínculos directos entre el fourrier coeficientes del rectángulo y del triángulo de las funciones.
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