Problema que involucra la raíz cuadrada de un término trigonométrico

Question

Yo estaba tratando de encontrar el área sombreada en la figura:

Y no, no es la tarea. Simplemente me topé por casualidad en Facebook y tenía un ir en él.

Me las arreglé para encontrar que el uso de un método muy sencillo. Ahora quiero comprobar que mi respuesta es correcta con el cálculo. Específicamente, quiero verificar mi respuesta con la integración en un área comprendida entre dos curvas que son los más pequeños y un círculo más grande.

Para ello, hice lo siguiente para enmarcar el problema más simplemente:

La reorganización del círculo grande, para hacer más simple hacia abajo de la línea

Entonces, como se puede ver en la imagen, los dos polos de las ecuaciones de los círculos fueron construidos. Yo en realidad no tenía idea de cómo hacerlo para los círculos que no está centrada en el origen o en cualquier parte de x o y ejes, así que me he referido a este enlace para obtener la ecuación para que:

Trazado polares ecuaciones de los círculos no centrado en (0, 0)

El siguiente paso es comparar las dos ecuaciones, con el fin de averiguar donde se intersectan. Esto es lo que obtuve:

$5\sqrt2\cos(\theta-\frac{\pi}{4}) + \sqrt{5^2-50\sin^2(\theta-\frac{\pi}{4})} = 10$

$5\sqrt2\cos(\theta-\frac{\pi}{4}) + 5\sqrt{1-2\sin^2(\theta-\frac{\pi}{4})} = 10$

$5\sqrt2\cos(\theta-\frac{\pi}{4}) + 5\sqrt{\cos(2(\theta-\frac{\pi}{4}))} = 10$

$\sqrt2\cos(\theta-\frac{\pi}{4}) + \sqrt{\cos(2(\theta-\frac{\pi}{4}))} = 2$

Y yo estoy atrapado aquí bastante. Hice un poco de pensar y se dio cuenta de que no estoy realmente seguro de cómo resolver este tipo de ecuación. Comprobación de Wolfram Alpha, he podido encontrar el valor de theta. Son como sigue:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=10+%3D+sqrt(50)cos(theta+-+pi%2F4)+%2B+sqrt(25+-+50(sin(theta+-+pi%2F4))%5E2)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt(2)cos(theta+-+pi%2F4)+%2B+sqrt(cos(2(theta+-+pi%2F4)))+%3D+2

Me hizo intentar resolverlo en forma Cartesiana, a continuación, la conversión de coordenadas Polares más tarde, pero no he podido solucionar de que sea:

$(x-5)^2 + (y-5)^2 = 5^2$

$x^2 + y^2 = 10^2$

Con algunos simples sustitución terminé con:

$x + \sqrt{10^2-x^2} - 5 = 0$

que también no sé cómo resolver analíticamente. Me puede resolver fácilmente cualquiera de estos numéricamente, pero quiero saber cómo se podría ir sobre ellos analíticamente, de preferencia sin necesidad de convertirlos a formato complejo.

En cualquier caso, una vez que las intersecciones se encuentran, puedo realizar la integración necesaria para obtener el área. Que sé que puedo hacer.

Gracias!

EDITAR:

Bueno debo admitir que estoy muy cansado y esto ha afectado a mi matemáticos básicos de habilidades tales como la reorganización de ecuaciones /facepalm.

Este problema es tan simple que no es ni siquiera vale la pena preguntar. Disculpas por el desperdicio de espacio en el servidor. El truco es llevar el término raíz a un lado y todo lo demás para el otro lado. Plaza y voila, todo se vuelve fácil.

Answer 1

Aquí están los pasos para resolver su $\theta$-ecuación: $$\sqrt2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{\cos\left[2(\theta-\frac{\pi}{4})\right]} = 2$$ $$2-\sqrt2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{\cos\left[2(\theta-\frac{\pi}{4})\right]} $$ $$\left[2-\sqrt2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)\right]^2 = \cos\left[2(\theta-\frac{\pi}{4})\right]$$ $$4-4\sqrt2\cos(\theta-\frac{\pi}{4}) + 2\cos^2(\theta-\frac{\pi}{4})=2 \cos^2(\theta-\frac{\pi}{4})-1$$ $$\cos(\theta-\frac{\pi}{4}) =\frac{5}{4\sqrt{2}}$$ $$\theta_1=\pi/4+\cos^{-1}\left(\frac{5}{4\sqrt{2}}\right)=72.9°$$ $$\theta_2=\pi/4-\cos^{-1}\left(\frac{5}{4\sqrt{2}}\right)=17.1°$$

En $xy$-coordenadas, usted debe obtener la ecuación cuadrática para $x$,

$$8x^2-100x+225=0$$

y las soluciones $$x_1=\frac{5}{4}(5-\sqrt{7}), x_2=\frac{5}{4}(5+\sqrt{7})$$

Answer 2

Consulte los círculos en coordenadas rectangulares. Expanda el primero y sustituya por $x^2+y^2,$ para obtener $$x+y=12.5.$ $ Esto puede sustituirse en el círculo centrado en el origen, y el resto debería ser bastante sencillo.