En el comentario a mi respuesta a este post Noé Schweber menciona un Henkin estilo de la prueba del teorema de compacidad para la lógica de primer orden, basado en un finitary la satisfacción de la relación. A su sugerencia, voy a postear para preguntar a ver la prueba. Estoy particularmente interesado en ver cómo esta la prueba de compactación puede ayudar a un ingeniero de sonido y completa la prueba del sistema.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
EDIT: Un viejo MO respuesta de Joel David Hamkins menciona este argumento brevemente, y esa pregunta y sus respuestas son muy interesantes. También debo aclarar que este argumento es muy no se debe a mí - que parece ser el folclore.
Deje $\models_f$ ser el finitary compañero de la habitual vinculación a la relación $\models$: es decir, $\Gamma\models_f\varphi$ fib $\Gamma'\models\varphi$ para algunos finito $\Gamma'\subseteq\Gamma$. Esta consecuencia de la relación es extremadamente compacto, y queremos demostrar que coincide con $\models$.
Como en la prueba del teorema de completitud, vamos a establecer una noción de la estructura a plazo $Term(\Gamma;\models_f)$ asignado a una arbitraria finitely conste que la teoría de la $\Gamma$; veremos a continuación, sostienen que cada teoría $\Gamma$ está contenida en un mayor tamaño de la teoría de la $\Gamma'$ tal que $Term(\Gamma';\models_f)\models\Gamma'$ (y, por tanto, $\Gamma$).
Nuestro plazo de las estructuras se definen de la manera obvia:
El conjunto subyacente de $Term(\Gamma;\models_f)$ es el conjunto de clases de equivalencia de cerrado términos en nuestro idioma, en virtud de la equivalencia de la relación de $$t\approx_\Gamma^f s\iff \Gamma\models_ft=s.$$
La interpretación se da en la manera obvia (por ejemplo, para un plazo de $t$ y un predicado unario $U$ nos pusimos $Term(\Gamma;\models_f)\models U([t])$ fib $\Gamma\models_fU(t)$), con definedness ser sencillo de probar.
(¿Por qué cerró términos? Yo prefiero evitar variables libres. Esto es puramente una cuestión de gusto. Tenga en cuenta que siempre podemos añadir un nuevo símbolo constante en nuestro idioma, por lo que WLOG allí, en realidad, están cerrados los términos en el idioma de nuestra teoría y así obtenemos un vacío estructura a plazo, o simplemente podría permitir que las estructuras de vacío en general).
Como en la prueba del teorema de completitud, no hay ninguna razón para tener $Term(\Gamma;\models_f)\models\Gamma$. Así que tenemos que arreglar esto. Como antes vamos a ver dos maneras particulares para "mejorar" una teoría:
Cada finitely conste que la teoría de la $\Gamma$ tiene un "$\models_f$-completa" de la extensión, es decir, un finitely conste que la extensión de $\Gamma'\supseteq\Gamma$ tal que para cada una de las $\varphi$ tenemos $\Gamma\models_f\varphi$ o $\Gamma\models_f\neg\varphi$. Prueba de ello es exactamente igual que para la $\vdash$ - solo hacer un "algoritmo voraz." El punto clave es que el resultado es, de hecho, finitely conste, y esto es debido a que cada finito etapa fue finitely conste y finito satisfiability de una teoría está determinado por su finitos fragmentos.
También podemos Henkinize exactamente como de costumbre. Si $\Gamma\models_f\forall x\exists y\varphi(x,y)$, se puede añadir un símbolo de función $p_\varphi$ y pasar a $\Gamma\cup\{\forall x\varphi(x, p(x))\}$, que es finitely conste que si $\Gamma$ sí es.
Estas dos transformaciones juntos vamos a construir, para $\Gamma$ a un arbitrario finitely conste que de la teoría, de una extensión $\Gamma'\supseteq\Gamma$ que es finitely conste y $\models_f$-completa. Ahora podemos demostrar que
$(*)$ por cada $\psi\in\Gamma'$ tenemos $Term(\Gamma';\models_f)\models\psi$
por (puramente semántica) de la inducción de la complejidad de la $\psi$, y terminar la prueba, pasando a la reduct el idioma original de $\Gamma$.
Ir a través de este argumento con un peine de dientes finos, se pueden enumerar las propiedades $\models_f$ para satisfacer las necesidades en orden para que las cosas funcionen. Por ejemplo, tenemos que tener reglas como "Si $\Gamma\models_f\psi$ e $\Gamma\models_f\theta$ entonces $\Gamma\models_f\psi\wedge\theta$" para ejecutar la aplicación en la prueba de $(*)$. La consecuencia de la relación generada por todas estas reglas es entonces trivialmente completa, y fue descubierto "orgánicamente" - nunca hubo una preocupación que no podríamos encontrar todas las reglas, ya que, literalmente, acaba de extraer a partir de un argumento que ya sabía que funcionaba.
(Esto no es muy justo - es importante tener en cuenta que, además de la finitary cierre de propiedades, el argumento de arriba necesita $\models_f$ a ser finitary para construir $\models_f$-las terminaciones. Pero finitarity de nuestro consecuencia de la relación es trivial, ya que es generado por la definición de finitary reglas.)
Último momento: Una cosa que realmente me gusta de este argumento es que se motiva la idea de tomar una puramente semántica consecuencia de la relación y el estudio de sus diversas "primos", especialmente su tal vez-mejor comportamiento de los fragmentos. Esto se convierte en una muy importante perspectiva en el estudio de infinitary lógica, introducido por Barwise (ver, por ejemplo, la sección $3$ de Keisler/Caballero maravilloso de la encuesta). Quizás lo más valioso que se basa (al menos, lo fue para mí) una "estética del puente" entre la semántica y sintáctica perspectivas en consecuencia, las relaciones, lo que (de nuevo, al menos para mí) ayuda a motivar a sus algebraica de estudio que de alguna manera se cae (de nuevo, al menos para mí) entre los dos
