El número de raíces de un polinomio$p(x)=x^{12}+x^8+x^4+1$ en$\mathbb{F}_{11^2}$.

Question

Estoy tratando de contar el número de raíces de un polinomio $p(x)=x^{12}+x^8+x^4+1$ en $\mathbb{F}_{11^2}$ . Por supuesto, puedo conectar cada elemento en $\mathbb{F}_{11^2}$ en $x$ en $p(x)$ . Pero, ¿hay alguna forma más simple de hacer esto? ¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Sugerencia Desde $(x^4 - 1) p(x) = x^{16} - 1$ (que no tiene raíces repetidas), las raíces $x \in \Bbb F_{11^2}$ de $p$ son precisamente los elementos $x \in \Bbb F_{11^2}^* \cong \Bbb Z_{120}$ que satisfacer $x^{16} = 1$ pero no $x^4 = 1$.

Cualquier elemento de $\Bbb Z_{120}$ ha pedido dividiendo $120$ por lo que cualquier elemento de orden dividiendo $16$ ha pedido dividiendo $\operatorname{gcd}(16, 120) = 8$. Por lo tanto $p$ tiene cuatro raíces: Si $\alpha$ es un generador de $\Bbb Z_{120}$, a continuación, $\beta := \alpha^{15}$ genera el subgrupo de elementos de orden dividiendo $8$ e $\beta^2$ el subgrupo de elementos de orden dividiendo $4$, entonces las raíces son, precisamente, $\beta, \beta^3, \beta^5, \beta^7$.

Answer 2

Aviso: $$p(x)= (x^4+1)(x^8+1)$$

Claramente no hay ningún número divisible por 11 es una raíz. Así que supongamos $c$ es una raíz, por lo $11\nmid c$. Por Euler tenemos $$c^{110} \equiv_{121} 1$$ and $c^4\equiv_{121} -1$ or $c^8\equiv_{121} -1$

En el primer caso obtenemos $c^2\equiv_{121} -1$ e lo $c^4\equiv_{121} 1$ que es impossibile.

En el segundo caso tenemos $c^6\equiv_{121} -1$ e lo $c^2\equiv_{121} 1$ e lo $c^8\equiv_{121} 1$ que es impossibile de nuevo.

Así que no tiene ninguna raíz en $F_{121}$.