Deje $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ser una función medible tal que $f$ es $T$-periódico por arbitrariamente pequeño $T$. Necesito mostrar que $f$ es constante, al menos en casi todas partes.
Puede alguien encontrar una escuela primaria prueba de ello ?
Una prueba: he encontrado una prueba en la que he utilizado la teoría de la distribución. Coloque primero $f$ por $f_A:= f\mathbf{1}_{\vert f\vert\leq A}$ para $A>0$ para obtener una limitada función. Por lo tanto, $f$ pertenece a $L_{loc}^1(\mathbb{R})$ y puede ser visto como un elemento de $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$.
Tome $T$ un período de $f$ y denotan por $\tau_Tf:= f(\cdot-T)$ la traducción operador por $T$. Tome $\varphi$ como una función de prueba y calcular
\begin{aligned}
\left<f, \varphi \right> &=\left<\tau_T f, \varphi \right> \\ &= \left< f,\tau_{-T} \varphi \right>
\end{aligned}
Así, por $T$ arbitrariamente pequeño
$$\left<f,\tau_T \varphi - \varphi \right> = 0.$$
A continuación, se usa el hecho de que si $\underset{n\to\infty}{\lim}T_n =0$, luego
$$\underset{T_n\to0}{\lim} \frac{\tau_{T_n}\varphi - \varphi}{T_n} = \varphi'\quad \text{in}\ \mathcal{D(\mathbb{R})}.$$
Pasando al límite en la desigualdad anterior que uno obtiene que
$$\left<f', \varphi \right> = 0 $$
para cualquier función de prueba de $\varphi$. Así
$$f' = 0\quad\text{in}\ \mathcal{D'}(\mathbb{R}).$$
Por una clásica resultado, esto implica que $f$ es constante en casi todas partes.
Motivación: En un trabajo titulado "Sobre la aproximación de integrales de Lebesgue por las sumas de Riemann", Jessen demuestra el siguiente teorema. Deje $f$ ser $L^1(\mathbf{T})$ función. Denotar su suma de Riemann $$f_n:= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(x+\frac{k}{n}).$$, a Continuación, $$\underset{n\to\infty}{\lim} f_{2^n}(x) = \int_0^1 f\quad a.e.x $$ Jessen considera $$\phi(x):=\overline{\lim} f_{2^n}(x)$$ que es un $2^{-n}$ función periódica para todos los $n$, por tanto, una constante en casi todas partes de la función. La prueba se reduce a mostrar que esta constante es $\int_0^1 f$.
