¿Por qué es necesaria asociatividad $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ en la composición?

Question

Una introducción en la categoría de teoría dice que

Una categoría es una cuádruple $A = (O, \mathrm{hom}, \mathrm{id}, \circ)$ consta de bla-bla y está sujeto a las siguientes condiciones: (a) la composición es asociativa: $$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f,$$ ...

¿Cuál es el punto de este requisito? Si me da el paréntesis de la derecha, $(h \circ g)$ dice que lo primero que presentar algunos $x$ a la derecha $g$. Esta función se convierta $x$ algunos $y$, la cual será presentada a la función $h$. Se sigue automáticamente que el paréntesis no juegan ningún papel: el cálculo de la propagación de derecha a izquierda como si no hay paréntesis. Son transparentes por defecto. Por qué disponer de la cosa, que es inevitable?

Answer 1

$\phantom{xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx}$

Contraejemplo 1:

Contraejemplo 2:

Tomar la "categoría" con un objeto, una flecha para cada multiplicación de octonions para composición y octonion. Esto (como contraejemplo 1) satisface todos los axiomas menos asociatividad.

Answer 2

Como el estado de comentarios, morfismos no actúan sobre los elementos; son flechas abstractas con las reglas de la composición abstracta. Si no necesita la asociatividad, podría tener miedosas categorías un objeto modelados en estructuras algebraicas tales como lazos o incluso magmada (con identidad), que hace las cosas mucho más difíciles de tratar, como caer asociatividad hace arbitraria composición difícil (una vez más indicado en los comentarios).

Answer 3

Considerar la "categoría" que tiene cuatro objetos $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, en el que

• $\hom(x_i,x_i)$ tiene exactamente un elemento para cada $i\in\{1,2,3,4\}$, la identidad de $x_i$;

• $\hom(x_i,x_j)$ está vacía si $i>j$;

• $\hom(x_1,x_2)=\{\alpha\}$, $\hom(x_2,x_3)=\{\beta\}$, $\hom(x_3,x_4)=\{\gamma\}$, $\hom(x_1,x_3)=\{\delta\}$, $\hom(x_2,x_4)=\{\eta\}$ and $\hom(x_1,x_4)=\{\xi,\zeta\}$;

• composición se define por lo que los identites actúan como identidades, $\beta\circ\alpha=\delta$, $\gamma\circ\beta=\eta$, $\eta\circ\alpha=\xi$ y $\gamma\circ\delta=\zeta$.

Usted puede comprobar fácilmente que la composición de esta "categoría" no es asociativa.

Answer 4

El punto de una abstracción es colocar las propiedades de un caso particular, para ser capaces de razonar a un nivel superior, lo que permite inferir nuevas reglas para un universo más amplio.

Si bien es cierto que si crees que a "los elementos", como las asignaciones $X \rightarrow Y$ y a la "composición" de la aplicación de las funciones de uno después de otro, a continuación, la asociatividad es obvio. Pero este es exactamente el punto... en este caso concreto queremos razón a los elementos $a$ $b$ en abstracto y a la composición, también en abstracto.

Lo que se encuentra es que para ser capaz de hacer interesante razonamientos en este espacio abstracto necesitamos la asociatividad de la regla... pero todavía queremos razón acerca de aquellos elementos que NO están necesariamente de las asignaciones.

Esto ocurre muy frecuentemente en matemáticas... por ejemplo, al estudio de abelian grupos que normalmente requieren + a ser conmutativa. Ahora si + es el número, además de obviamente es conmutativa. Pero el punto de estudio abelian grupos es exactamente para tratar de deducir todo lo que se puede considerar una operación conmutativa que es NO necesariamente la adición de números.

Answer 5

Una manera de justificar la asociatividad es en términos de las consecuencias de tener o no tener. Desde el matemático punto de vista, sólo interesado en la generación de teoremas, que es lo importante. Pero también se puede hacer la "previa" de la cuestión, a saber, ¿dónde asociativa de los sistemas? La matemática es una caja de herramientas para modelar distintos tipos de sistemas del mundo real (aparte de ser una pura disciplina en sí misma). En el mundo real, la asociatividad surge espontáneamente a partir de conjuntos de operaciones que el mapa de los estados en algunos conjuntos de estados. Por ejemplo, el número real de multiplicación de los mapas de $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$.

Usted encontrará que todos los asociativo de las operaciones puede ser pensado de una manera natural, como los mapas de un estado-espacio para sí mismo. El significado de la asociatividad es entonces que cada una de las sucesivas operación se lleva el estado de la salida de la operación anterior y actúa en ese estado para producir un nuevo estado de salida independiente de la historia de las operaciones anteriores. Así, la asociatividad es una especie de historia de la propiedad libre para las operaciones. Si usted mira no asociativo de operaciones como el producto cruzado en $\mathbb{R}^3$, la operación es la historia-dependiente. Cuando se observa que el $(i\times j)\times j\neq i\times(j\times j)$, eso es porque no es en realidad un estado oculto en estas operaciones. La estrecha relación cuaterniones son en realidad asociativa ya que conservan este estado oculto.