Donde NO requerimos que las cabezas o colas sean consecutivas (¡aunque pueden serlo!)
Obviamente, esta expectativa, $E[T]$ , está vinculada de la siguiente manera: $N < E[T] < 2N - 1$
Y obviamente $E[T] = \sum_{i=N}^{n=2N-1}i*P[Game \ Ends \ On \ i^{th} \ Round]$ , donde $\sum_{i=N}^{n=2N-1}P[Game \ Ends \ On \ i^{th} \ Round] = 1$
Pero, ¿cómo podría uno encontrar tal probabilidad para un $i \in \{N, N+1, ..., 2N-1\}$ arbitrario?
La probabilidad de que el juego termine en la ronda $i$ es: $$\binom{i-1}{N-1}2^{1-i}$$If e.g. the game ends with a tail at $ i$-th round then among the $ i-1$ results in the former rounds must be $ N-1$ tails. There are $ \ binom { i-1} {N-1}$ configurations for that and each of them has probability $ 2 ^ {1-i}$ to occur. Further we must multiply with the probability that a tail will appear at $ i$-th trial which is $ \ frac12$. Same outcome if the game ends with a head at $ i$-th round so a multiplication with $ 2 $ también es necesario .
Entonces se encuentra:
PS
Fórmula Preliminar $$ \begin{align} a_n &=\sum_{m=n}^{2n}\frac1{2^m}\binom{m}{n}\\ &=\sum_{m=n}^{2n}\frac1{2^m}\left[\binom{m-1}{n}+\binom{m-1}{n-1}\right]\\ &=\frac12\sum_{m=n-1}^{2n-1}\frac1{2^m}\left[\binom{m}{n}+\binom{m}{n-1}\right]\\ &=\frac12\left[a_n-\frac1{2^{2n}}\binom{2n}{n}+a_{n-1}+\frac1{2^{2n-1}}\binom{2n-1}{n-1}\right]\\[3pt] &=\frac12(a_n+a_{n-1})\\[9pt] &=a_{n-1}\tag1 \end{align} $$ y desde $a_0=1$, tenemos $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\sum_{m=n}^{2n}\frac1{2^m}\binom{m}{n}=1}\tag2 $$
Las Respuestas
El número de maneras de llegar a $n$ jefes de flip $m$ y no en flip $m-1$ es $$ \binom{m}{n}-\binom{m-1}{n}=\binom{m-1}{n-1}\tag3 $$ Este es también el número de maneras de llegar a $n$ colas en flip $m$ y no en flip $m-1$. Por lo tanto, la probabilidad de llegar a $n$ jefes o $n$ colas en flip $m$ y no en flip $m-1$es $$ \frac2{2^m}\binom{m-1}{n-1}=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac1{2^{m-1}}\binom{m-1}{n-1}}\tag4 $$ Tenga en cuenta que $(2)$ muestra que $$ \sum_{m=n}^{2n-1}\frac1{2^{m-1}}\binom{m-1}{n-1}=1\tag5 $$ Es decir, la probabilidad de contraer $n$ jefes o $n$ colas por flip $2n-1$ es $1$. La duración prevista es entonces $$ \begin{align} \sum_{m=n}^{2n-1}\frac{m}{2^{m-1}}\binom{m-1}{n-1} &=2n\sum_{m=n}^{2n-1}\frac1{2^m}\binom{m}{n}\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{2n\left(1-\frac1{4^n}\binom{2n}{n}\right)}\tag6 \end{align} $$
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