¿Por qué hay tantas fórmulas del efecto Doppler?

Question

Acabo de ser presentado en mi clase, un fenómeno conocido como el efecto Doppler, donde la frecuencia observada aumenta a medida que la fuente/observador se acercan, pero disminuye si se están alejando. Mi profesora entonces me mostró esta ecuación:

A primera vista, me pareció intuitivo que esto se aplica a todos los escenarios, ya sea que la fuente se esté moviendo, el observador o ambos. Un escenario de ejemplo sería:

Supongamos, un carro se mueve hacia la persona $Y$, un observador estacionario, con una velocidad de $7m/s$, produciendo una frecuencia de $500Hz$. Si $Vsonido=330m/s$, al insertar los valores en la ecuación nos da una frecuencia observada de $510.8Hz$. Hasta ahí todo bien.

La confusión llegó cuando mi profesora "cambió" el escenario, en este caso, el observador se mueve mientras la fuente permanece estacionaria. Aquí está la ilustración:

La persona $Y$ se está acercando al carro, la fuente. Digamos que a una velocidad de $7m/s$, la misma velocidad exacta a la que se movía el carro en el caso anterior, sin darle más consideración, escribí la misma respuesta, $510.8Hz$, como la frecuencia observada. Estaba bastante seguro de que ¿Cómo puede estar mal?

Sorprendentemente, mi respuesta estaba incorrecta, me dijo que necesitaba otra fórmula para esto, la cual mostró:

Me tomé un minuto para analizarlo, y mi mente dijo, "tampoco está mal...". Usando esa ecuación, la frecuencia observada, $f'$, sería de $510.6Hz$, muy cercana a la frecuencia observada anterior ($510.8Hz$), pero lo diferente es diferente. No quise perder su tiempo, así que seguí adelante. Mientras ella enseñaba, e incluso después de la clase, seguía pensando por qué mi lógica estaba incorrecta.

Básicamente, mi lógica se basa únicamente en la Velocidad Relativa, con la que ya estás familiarizado, aquí hay una analogía rápida:

El carro rojo se estaría moviendo $80m/s$ en relación al carro negro, mientras que el carro negro se mueve $50m/s$, pero en dirección opuesta al carro rojo, lo que básicamente significa

$V$_{<span class="math-container">$Relativa$</span>} = $\vec{V}$_{<span class="math-container">$Carro A$</span>} + $\vec{V}$_{<span class="math-container">$Carro B$</span>}

Si utilizara esta lógica en el Efecto Doppler, no importa si el carro está pasando junto a la Persona Estacionaria $Y$, o si la Persona $Y$ está pasando junto al Carro Estacionario, la velocidad relativa sería siempre de $7m/s$. En otras palabras, si el carro y la Persona $Y$ se estuvieran moviendo a $3.5m/s$ el uno hacia el otro, sería lo mismo que si el Carro estuviera pasando junto a la Persona Estacionaria $Y$, con $v=7m/s$.

Esto también se aplica a cualquier otra condición, ya sea que la fuente y el observador se estén moviendo el uno hacia el otro, lejos, o incluso en la misma dirección (simplemente a velocidades diferentes). Y simplemente enchúfalo en la primera ecuación, ¡y LISTO!

Pero no, no funciona así. ¡Aquí están todas las 8 fórmulas para cada escenario! Aunque no son fórmulas completamente "diferentes", aún así, será un dolor de cabeza recordarlas todas. Decidí investigar más y encontré una super fórmula, una que las une a todas:

Que básicamente, y al parecer mi profesora no me dijo, es la Fórmula Principal.

Pregunta Principal

De todas formas, volviendo a mi curiosidad, ¿por qué no podemos simplemente encontrar la velocidad relativa, para cada escenario, y colocar los valores en la primera ecuación? O más bien, ¿cómo es que acercarse a la fuente, o que la fuente se acerque a ti, con la misma velocidad relativa exacta, crea diferentes $f'$ (Frecuencia Observada)?

¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

La velocidad relativa para las ondas de sonido no es una situación "simétrica". Por ejemplo, en el caso extremo de un avión de combate que se acerca a un observador estacionario a Mach 1, el avión viajará tan rápido como sus ondas de sonido. El observador no escuchará nada hasta que el avión llegue a su posición.

Por otro lado, en el caso de una fuente de sonido estacionaria y un observador que se mueve hacia la fuente de sonido a Mach 1, el observador obviamente escuchará un sonido dopplerizado de una frecuencia mucho más alta que la que emite la fuente de sonido.

Una situación no simétrica como esta requiere la última fórmula enumerada en la pregunta, donde se realizan correcciones tanto para la velocidad de la fuente como para la velocidad del observador.

Answer 2

Hay un factor que falta en tu consideración: ¡la velocidad del medio!

Toma el caso general de dos coches que conducen a diferentes velocidades uno hacia el otro mientras ambos tocan sus bocinas.

Puedes considerar que cualquiera de los coches está estacionario, y terminar con la misma velocidad relativa (coche a coche).

Pero al sustituir esto en las diversas ecuaciones que mencionas produciría resultados diferentes para el único valor correcto de la frecuencia observada. Solo una ecuación puede ser correcta.

La solución: Utiliza la última ecuación más general que mencionas, la super fórmula, pero incluye en las reglas para usar la ecuación $$\text{¡Usa el medio como tu marco de referencia para todas las mediciones de velocidad!}$$ $$\text{¡Convierte todas las velocidades a este marco, antes de sustituirlas en la ecuación!}$$

Esto incluso maneja la situación donde los dos coches están conduciendo hacia el otro en la cubierta de un portaviones que se desplaza a $30$ nudos hacia un viento en contra de $35$ nudos...(Algunas conversiones de unidades requeridas.)