¿Las funciones que suman cero sobre vértices de polígonos similares son idénticamente cero?

Question

Esto es una generalización del problema de la A1 desde el 2009 Putnam de la competencia. El problema original pide la prueba de que cualquier función de $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ que sumas a cero durante los vértices de cualquier cuadrado es necesariamente cero en todas partes. Es decir, si para cualquier cuadrado con vértices $A$,$B$,$C$, e $D$, \begin{equation} f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0 \end{equation} a continuación, $f(P)=0$ para cualquier punto de $P\in \mathbb{R}^2.$ Usted puede encontrar la solución a esta pregunta aquí: Putnam 2009 A1 Puntos en un plano.

Mi pregunta es si este resultado se puede generalizar a cualquier familia de polígonos semejantes. Si $\Sigma_{i}f(A_i)=0$ siempre $A_1,...,A_n$ son los vértices de un polígono similar a un determinado polígono, no $f$ necesitan ser $0$ todas partes?

Esto puede ser demostrado para regular $n$-ágonos por un método que describo en los comentarios. La prueba de triángulos equiláteros equivale a la adición de los vértices de los tres azul triángulos equiláteros en la imagen y, a continuación, restando los vértices de los dos triángulos de color rojo dejando $3f(A)=0$ y, desde $A$ es arbitrario, demostrando $f$ es cero en todas partes. Esencialmente el mismo argumento se aplica a cualquier $n$-ágonos si se dibujan uniformemente dispuestos alrededor del punto central. No importa si se superponen.

Answer 1

Para visualizar lo que subrosar probablemente significaba con su "regular $n$-gon"-técnica, he creado la siguiente imagen para el caso de la 7-gon

En su post, subrosar utiliza la misma técnica para el triángulo.

Crear $n$ copias de la $n$-ido, por lo que toda la carne en un solo vértice, y organizarlos en un patrón simétrico (el negro 7-ágonos en la imagen). Usted, a continuación, "cancelar" todos los vértices, pero la central mediante la inserción de más concéntricos $n$-ágonos. Esto funciona de forma similar por todos los $n$-ágonos, pero es mejor visto por extraño $n$, como ningún coste adicional vértices coinciden.

Esta técnica puede ser generalizado a los polígonos en el que todos los vértices de la mentira en un círculo común, por ejemplo, para este irregular 5-gon:

Y de hecho, hay incluso una forma más general para hacer esto que funciona para todos los polígonos convexos y no convexos:

Deje $P$ ser un polígono con vértices $v_1,...,v_n$. Elija un punto de $x\in\Bbb R^2$ que no es un vértice de $P$. Ahora, para cada vértice $v_i$ de $P$, coloque un polígono $P_i$ en $\Bbb R^2$, que es congruente a $P$ (por rotación y la escala, no de creación de reflejo), y tiene su vértice $v_1^i$ (su versión de los vértices $v_1$) a $x$, y su vértice $v_2^i$ a $v_i$.

Los puntos de $\{v_k^i\mid i=2,...,n\}$ ahora forman los vértices de un polígono $\bar P_k$, que es congruente a $P$.

Si $x$ es elegido para ser el circuncentro del polígono y todos los vértices del polígono en el que la circunferencia circunscrita, que acaba de obtener la misma técnica que el anterior.

Así que, de hecho, la tarea puede ser indicado con cualquier polígono (o si se quiere así, con un conjunto de puntos de tamaño de al menos tres).

Answer 2

Permítanme reformular M. Invierno la respuesta de la siguiente manera.

Incrustar $\mathbb R^2$ a $\mathbb C$, a la pregunta original, se pueden formular de la siguiente manera:

Deje $f : \mathbb C \to \mathbb R$ ser una función. Supongamos que existe pares distintos $v_0 = 0$ e $v_1 \cdots, v_n \in \mathbb C$ tales que $$\sum_{i=0}^n f(z+\alpha v_i) = 0$$ for all $\alpha \neq 0 \in \mathbb C$ and $z \in \mathbb C$. Show that $f \equiv 0$.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que ninguno de $v_i$ es $-1$. Para $0 \leq i,j \leq n$ Deje $w_{ij} = v_i(v_j + 1)$. A partir de la definición de $f$, para $0 \leq j \leq n$, $$ \sum_{i=0}^n f(w_{ij}) = \sum_{i=0}^n f(0+(v_j + 1)v_i) = 0. $$

Del mismo modo, para $1 \leq i \leq n$, $$ \sum_{j=0}^n f(w_{ij}) = \sum_{j=0}^n f(v_i + v_iv_j) = 0. $$

Entonces $$ \begin{aligned} (n+1)f(0) &= \text{(the sum of the %#%#% equations in the top)}\\ &- \text{(the sum of the %#%#% equations in the bottom)} = 0. \end{aligned} $$

Por lo $n+1$, de la misma manera $n$ para todos los $f(0) = 0$.