Esto es una generalización del problema de la A1 desde el 2009 Putnam de la competencia. El problema original pide la prueba de que cualquier función de $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ que sumas a cero durante los vértices de cualquier cuadrado es necesariamente cero en todas partes. Es decir, si para cualquier cuadrado con vértices $A$,$B$,$C$, e $D$,
\begin{equation}
f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0
\end{equation}
a continuación, $f(P)=0$ para cualquier punto de $P\in \mathbb{R}^2.$
Usted puede encontrar la solución a esta pregunta aquí: Putnam 2009 A1 Puntos en un plano.
Mi pregunta es si este resultado se puede generalizar a cualquier familia de polígonos semejantes. Si $\Sigma_{i}f(A_i)=0$ siempre $A_1,...,A_n$ son los vértices de un polígono similar a un determinado polígono, no $f$ necesitan ser $0$ todas partes?
Esto puede ser demostrado para regular $n$-ágonos por un método que describo en los comentarios. La prueba de triángulos equiláteros equivale a la adición de los vértices de los tres azul triángulos equiláteros en la imagen y, a continuación, restando los vértices de los dos triángulos de color rojo dejando $3f(A)=0$ y, desde $A$ es arbitrario, demostrando $f$ es cero en todas partes. Esencialmente el mismo argumento se aplica a cualquier $n$-ágonos si se dibujan uniformemente dispuestos alrededor del punto central. No importa si se superponen.