El operador de traducción unitaria, $\hat{T}(\lambda) = e^{i\hat{p}\lambda/\hbar}$ , se genera a partir del operador hermitiano $\hat{p}$ .
El operador de rotación unitaria, $\hat{R}_z(\alpha)=e^{-i\hat{L_z}\alpha/\hbar}$ , se genera a partir del operador hermitiano $\hat{L}_z$ .
El operador de paridad unitaria $\hat{P}: \Psi(x) \rightarrow \hat{P}\Psi(x)=\Psi(-x)$ , ¿se genera a partir de qué operador hermitiano?
Esto es un poco contradictorio enfoque, pero es muy fácil: tomar el oscilador armónico funciones propias $\psi_n(x)$. Es conocido que las funciones $\psi_{2k}(x)$ son incluso debajo de la paridad y las funciones de $\psi_{2k+1}(x)$ son impares. Ahora el tiempo de evolución de operador con el oscilador armónico Hamiltoniano es
$$ U(t) = \exp\left(\frac{-es}{2\manejadores}\,\left(-\partial_x^2 + x^2\right) \right)\,, $$ cuando me puse a $1$ tanto de la masa y la frecuencia. Actuando en tales funciones propias que los rendimientos obviamente
$$ U(t) \,\psi_n(x) = e^{-es\a la izquierda(n+\frac12\right)}\psi_n(x)\,, $$ debido a que la energía de $\psi_n$ es $\hbar\left(n+\tfrac12\right)$. Ahora si evolucionamos para un tiempo de $\pi$ y definir $$ \tilde{U}(\pi) \equiv e^{i\frac{\pi}{2}}U(\pi)\,, $$ es inmediato ver $$ \tilde{U}(\pi)\,\psi_n(x) = e^{-i\pi n} \psi_n(x) = \psi_n(-x)\,. $$ En el último paso que se utiliza la paridad de $\psi_n(x)$ según la paridad de $n$. Es decir, si $n$ es impar la fase factor de es $-1$ e $\psi_n(-x) = - \psi_n(x)$, mientras que si $n$ es aún la fase de es $1$ e $\psi_n(-x)=\psi_n(x)$.
Ahora no importa que la teoría que se estudia no es el H. O., $\tilde{U}(\pi)$ es un operador lineal y el $\psi_n(x)$ formulario de una base de $L^2(\mathbb{R})$, por lo que en cualquier función en $L^2(\mathbb{R})$ va a ser cierto que $$ \tilde{U}(\pi) \,\psi(x) = \psi (x)\,, $$ porque, en principio, se podría ampliar el $\psi(x)$ en el H. O. funciones propias (incluso si usted realmente no necesita hacerlo).
La paridad operador no tiene un generador en la forma en que la traducción o la rotación de los operadores a hacer.
Observe cómo se dio la traducción de los operadores y la rotación de los operadores de un parámetro, como $\hat{T}(\lambda)$. No hay una sola traducción operador, sino toda una familia de la traducción de los operadores que forman parte de un grupo. Lo que es más, el operador de la familia es continua en el sentido de que $\hat{T}(\lambda)$ e $\hat{T}(\lambda')$ son cerca de si $\lambda$ e $\lambda'$ están cerca. En este caso, la Piedra del teorema demuestra que se puede tomar la derivada de esta familia: $$ \hat{t} \equiv i\times \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\hat{T}(h)-I}{\lambda}$$ y que este "operador de la derivada" $\hat{t}$ es un hermitian operador, y que $\hat{T}(\lambda) = \exp(-i\lambda \hat{t})$. Llamamos a $\hat{t}$ el generador del grupo $\hat{T}(\lambda)$
Por otro lado, el operador de paridad es un solo operador. No hay ninguna continuo de la familia de la paridad de los operadores, y por lo tanto no hay manera de tomar un derivado o definir un generador.
En el lenguaje de la teoría de grupos, un grupo de transformaciones que continua como traducciones o rotaciones formas una "Mentira grupo." Mentira grupos tienen todo tipo de estructura especial debido a su continuidad, incluyendo la Mentira grupos generadores, donde podemos decir cosas como $g(\lambda) = \exp(\lambda X)$ donde $g$ es un elemento de un grupo y $X$ es un elemento de un diferente objeto matemático llamado una Mentira álgebra.
Los grupos discretos, como el grupo combinado de la CPT, o el discreto simetrías de un cristal, no tienen Mentira grupos generadores, o el concepto de la exponencial, o álgebras de Lie. Grupo de teoría habla sobre el "generadores" de estos grupos. En este caso los generadores son los elementos del grupo que puede ser multiplicado para hacer cualquier otro elemento del grupo. Por ejemplo, de 90 grados en sentido horario rotaciones pueden ser encadenados juntos para hacer una rotación de 180 grados y 90 grados de rotación en sentido antihorario.
Deduzco que usted quiere que el asiento de los pantalones" de los beastie: $$\bbox[yellow]{\hat P= \exp \left ( \frac{-\pi}{2\hbar}(\hat {x}\hat p+\hat {p} \hat {x}) \right )}.$$
Esto es claramente hermitean, $\hat P ^\dagger = \hat P$, pero también unitario, $\hat P ^{-1}=\hat P ^\dagger =\hat P$ : componer el exponenciales en $\hat P ^2= \exp \left ( \frac{-\pi}{\hbar}(\hat {x}\hat p + \hat p \hat {x} ) \right )=1\!\! 1 $.
Dado $[\hat x \hat p, \hat x]=-i\hbar \hat x $, es evidente que $$ e^{-\pi \hat x \hat p /\manejadores} f(\hat x) ~e^{\pi \hat x \hat p /\manejadores} = f(e^{-\pi \hat x \hat p /\manejadores} ~\hat x ~e^{\pi \hat x \hat p /\manejadores} )= f(e^{-[\pi \hat x \hat p /\manejadores ,~\bullet}~~\hat x)=f(e^{i\pi} \hat x) =f(-\hat x).$$ $[A,\bullet \equiv \operatorname{ad}_A$ , de modo que $e^A B e^{-A}= e^{[A,~\bullet} ~ B\equiv B+[A,B]+[A,[A,B]]/2!+...$, el Hadamard identidad. Debe ser evidente que el mismo funciona con la plena hermitean exponente, y para funciones arbitrarias de $\hat p$ así. El $\hat P ^2$ expresión conectado en conserva todos los operadores.
Recordemos que $\hat {p}|z\rangle= i\hbar \partial_z |z\rangle$, por lo que la resultante de pseudo-dilatación operador simplemente invierte el signo del espacio argumento de la cy, $$\hat P |z\rangle=\exp (-i\pi z\partial_z +i\pi /2)|z\rangle=i|-z\rangle,$$ la i fase de ser un bien inmaterial consecuencia de los convenios adoptados.
En operador de idioma, en el x-representación, la pseudodilatation presenta como un simple cambio de variable $x=\log z$ aplicación de Lagrange del operador de desplazamiento, $\exp (a\partial_x) f(x)=f(a+x)$, es decir, $$ \hat P f(z) \hat P^\daga = e^{i\pi ~ z\partial_z } f(z) = e^{i\pi \frac{\partial}{\partial \log z}} f(e^{\log z })=f(e^{i\pi +\log z })= f(-z). $$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
