Valor de $f'(0)$ si $f(x)=\frac{x}{1+\frac{x}{1+\frac{x}{1+\ddots}}}$

Question

Considerar la función $$ f (x) = \cfrac {x} {1 + \cfrac {x} {1 + \cfrac {x} {1 + \ddots}}} $$ determinar el valor de $f'(0)$.

He intentado distinguir $f(x)$ pero no está sujeto a la regla de la cadena, y ahora estoy atrapado. ¿Cómo se resuelve esto?

¿También cómo evaluar rápidamente $f(x)$ para un determinado $x$?

Answer 1

De la definición, usted consigue

$$\frac{x}{1+f(x)}=f(x)$$

Por lo tanto

$$x=(1+f(x))f(x)$$

Ahora distinguir

$$1=f'(x)+2f(x)f'(x)=f'(x)(1+2f(x))$$

O

$$f'(x)=\frac{1}{1+2f(x)}$$

Ahora, $f(0)=0$, de la definición de $f$.

Aunque una observación: no probó la fracción continua es diferenciable o incluso convergente. Sólo supongo que es verdad, entonces usted puede calcular fácilmente la derivada en $0$.

Answer 2

Creo $$f(x)=\cfrac{x}{1+\cfrac{x}{1+\cfrac{x}{1+\ddots}}}$$ no es automáticamente bien definido - lo que no está claro lo que es un límite de. Para intentar hacer que esto sea más precisa, he considerado, por $x \in \mathbb{C}\setminus \left\{0\right\}$ $z \in \widehat{\mathbb{C}}$

\begin{equation} f(x,z)=\lim_{n\rightarrow \infty} g_{x}^{n}(z). \end{equation} Donde $$g_{x}(z)=\frac{x}{1+z}$$ is a Moebius transformation in $z$ and $g_{x}^{n}$ is the $n$th iterate of $g_{x}$. There are three cases to consider, depending on whether $g_{x}$ es una elíptica, parabólica o un loxodromic transformación de Moebius.

En el loxodromic caso, que es el si $x \notin \left(-\infty, -\tfrac{1}{4}\right]$, entonces el límite converge a $\alpha(x)$ todos los $z \in \widehat{\mathbb{C}} \setminus \left\{\beta(x) \right\}$ donde $\alpha(x)$ $\beta(x)$ son atraer y repeler puntos fijos de $g_{x}$. Resulta $\alpha(x)$ es el valor de $\frac{1}{2}\left(-1 \pm \sqrt{1+4 x} \right)$ con parte real mayor que $-\tfrac{1}{2}$ $\beta(x)$ es el valor de las otras. Así, por $x \notin \left(-\infty, -\tfrac{1}{4}\right]$

$$f(x,y, z)= \begin{cases} \alpha(x) &\mbox{if } z \neq \beta(x) \\ \beta(x) & \mbox{if } z = \beta(x). \end{casos}$$

La parabólica caso sólo ocurre cuando se $x=-\tfrac{1}{4}$, y de aquí el límite converge al punto fijo de $g_{x}$, $-\tfrac{1}{2}$ para todos los $z$. Por lo tanto $$f(-\tfrac{1}{4},z)=-\tfrac{1}{2}$$ for all $z \in \widehat{\mathbb{C}}$.

Finalmente la elíptica en el caso de al $x \in \left(-\infty, -\tfrac{1}{4}\right)$. Aquí el límite no existe para cualquier $z$, excepto en los dos puntos fijos de $g_{x}$. Así que si $z \neq \frac{1}{2}\left(-1 \pm \sqrt{1+4 x} \right)$, $f(x,z)$ no está definido. De lo contrario,$f(x,z)=z$. \

Editar: Para completar la respuesta a la pregunta, en un pinchazo en un vecindario $N$ (decir) de $x=0$, tenemos la loxodromic caso, y dado que la Re$(\sqrt{1+4x})>0$ en este barrio, $f(x,z)= \frac{1}{2}\left(-1 + \sqrt{1+4 x} \right)$ todos los $z \neq \beta(x)$$x \in N$.

Esto justifica por qué para la mayoría de $z$, $f(x,z)$ es $\frac{1}{2}\left(-1 + \sqrt{1+4 x} \right)$ e no $\frac{1}{2}\left(-1 - \sqrt{1+4 x} \right)$

Ahora si podemos arreglar cualquier $z \in \widehat{\mathbb{C}}$, diferenciar $f(x,z)$ con respecto al $x$, luego deje $x \rightarrow 0$, obtenemos un valor de $1$. Tomando nota de que $f(0,z)=0$ $z \neq -1$ muestra $f(x,z)$ es continua con respecto a $x$$x=0$, mientras $z \neq -1$. Así que la derivada existe y es igual a $1$ todos los $z \neq -1$.

Answer 3

De la ecuación\begin{equation} f(x) = \frac{x}{1 + f(x)} \end{equation} obtenemos\begin{equation} f(x) = \frac{1}{2}\left(\pm \sqrt{1+4 x} -1 \right) \end{equation} obviamente la solución de $+$ es el correcto. Expansión de la raíz cuadrada de una serie que:\begin{equation} f(x) = C^{\frac{1}{2}}_1 2 x + C^{\frac{1}{2}}_2 8 x^2 + O(x^3) \end{equation} por lo tanto $f^{'}(0) = 1$.