Incluso con poco/ningún conocimiento del grupo simétrico de grado $n$, creo que el teorema de Cayley es suficiente para inferir que dicho grupo debe disponer de un subgrupo de orden $n$, para cualquier $n>2$.
Me preguntaba ¿qué acerca de los grupos de orden $n!$: ellos siempre tienen una buena subgrupo de orden $n$? Este es el caso de $S_n$. Este es también el caso de $C_6$, lo que completa la encuesta para $n=3$, pero aún no puedo enfoque de $n=4$ buscar contraejemplos.
