Tal vez, la clase de los números ordinales $\Omega$ puede ser axiomatised hasta isomorfismo diciendo que va a ser bien ordenado tal que para cada subconjunto $X\subseteq \Omega$ existe un "sucesor" ordinal $\sigma$ cual es el menor ordinal mayor que el de cualquier elemento de $X$.
No me gusta este axiomatization (y ni siquiera estoy seguro de que, si funciona) porque ya se inicia con el pedido. Compare eso con los Axiomas de Peano, que incluyen sólo la función sucesor y permiten construir el pedido de ella.
Mi pregunta: ¿hay algunos axiomas que caracterizan a la clase de los números ordinales "hasta el isomorfismo" y no sólo depender de la función sucesor" $$ \mathcal{P}(\Omega) \to \Omega \ ,\ X \mapsto \text{smallest ordinal larger than any element of}\ X $$ donde $\Omega$ es la clase de los números ordinales y las $\mathcal{P}(\Omega)$ la clase de todos los subconjuntos. Problema: La función sucesor tiene que ser axiomatized sin hacer referencia a la orden.
La idea es pensar en los ordinales no como las clases de isomorfismo de orden, sino como una clase que es inductiva "generado" por la transfinitely reiterado proceso de "contar el sucesor" de todos los números que ya están contando. Este es el espíritu de los axiomas de Peano, que también no ver los números naturales como isomorfismo clases de conjuntos finitos.
Parece ser que hay una semejanza a la categoría de idea de un "números naturales objeto", que es un diagrama de $$ \{0\} \to \mathbb{N} \xrightarrow{n \to n+1} \mathbb{N} $$ el ser inicial a lo largo de todos los diagramas de la forma $\{0\} \to X \to X$.
Tal vez la clase de los números ordinales puede ser descrito como un universal diagrama de la forma $$ \mathcal{P}(\Omega) \to \Omega \quad ?$$ Compare esto con el hecho de que para algunos de $X$, hay una incrustación $X \to \Omega$ si y sólo si existe una función de elección en su juego de poder.
