Estructura del anillo de polinomios cíclicos.

Question

Dado un campo $K$ (es decir, de característica cero) y $K[x_1,\dots,x_n]$ el anillo de polinomios en $n$-variables, considere la posibilidad de la acción del grupo cíclico $C_n=<\sigma>$ con $n$ elementos por $\sigma(x_i)=x_{i+1}$ si $i<n$, $\sigma(x_n)=x_1$. Los polinomios $p(x_1,\dots,x_n)$ tal que $\sigma(p)=p$ son llamados cíclicos polinomios.

Pregunta: se Puede describir el anillo de $CP_n$ cíclico de polinomios, dando a los generadores y relaciones?

Si $n=2$, luego cíclico es el mismo que el simétrico, por lo tanto las dos elementales simétrica polinomios $s_1$ e $s_2$ generar y no hay relaciones. Por lo $CP_2=K[s_1,s_2]$.

Si $n=3$, luego cíclico es el mismo que el de la alternancia, y es sabido que en este caso la primaria simétrica polinomios $s_1,s_2,s_3$ más el polinomio $d:=(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_1-x_3)$ generar. Pero $d^2=\Delta$ es el discriminante, que se puede expresar como un polinomio en $s_1,s_2,s_3$. Entonces $$CP_3=K[s_1,s_2,s_3,d]/(d^2-\Delta).$$

Podemos dar una descripción como la anterior en los casos de $n=4$ e $n=5$?

Answer 1

No es una respuesta completa. Sólo describir lo que sucede en el nivel de funciones racionales como una respuesta, porque no se ajusta en un comentario. Invariante de la teoría tiene mucho que decir acerca de este y otros problemas.

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Deje $E=K(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ por el campo de funciones racionales en $n$ independiente indeterminates. Deje $F=K(s_1,s_2,\ldots,s_n)$ ser el subcampo de simétrica funciones racionales. Es bien sabido que $E/F$ es una extensión de Galois con grupo de Galois $G\cong S_n$ actuando por permuting la indeterminates.

Considerar el elemento $$ u=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\cdots+\frac{x_{n-1}}{x_n}+\frac{x_n}{x_1}. $$ Es fácil ver que $\sigma(u)=u$ si y sólo si $\sigma$ es una potencia de la $n$-ciclo $\alpha=(123\ldots n)$. Básicos de la teoría de Galois esto implica que $F(u)$ es el campo fijo $E^H$ de $H=\langle\alpha\rangle$. Alternativamente, usted puede demostrar que la órbita de $u$ bajo $G$ha $(n-1)!$ elementos.

Podemos traer todas las fracciones en $u$ juntos de la siguiente forma $$ u=\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2\prod_{j,j\neq i, j\, no\equiv i+1\pmod n}x_j}{x_1x_2\ldots x_n}. $$ El denominador es en $E$. Puede ser tentador conjeturar que la primaria simétrica polinomios junto con el numerador puede generar el anillo del polinomio invariantes. Por desgracia no tengo la intuición acerca de esto. No tiene por que ser simple.

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En el caso de grupos finitos generado por los reflejos (= finito grupos de Coxeter), hay una hermosa descripción del polinomio invariantes debido a Chevalley. Véase, por ejemplo, el Capítulo 3 de J. E. Humphreys, los Grupos de Reflexión y Grupos de Coxeter, Cambridge estudios avanzados en matemáticas #29. Sospecho que la respuesta a la presente pregunta es también conocido, pero no tengo el tiempo para buscarlo.