Mostrando $\left<a,b,c : a^2=b^3=c^5=abc \right>/\left<abc\right>$ es finito

Question

Me ha costado mucho demostrar que

$$G=\left<a,b,c : a^2=b^3=c^5=abc \right>/\left< abc \right>$$ es un grupo finito.

Supongo que $G=\mathbb{Z}_2*\mathbb{Z}_3*\mathbb{Z}_5$ . Incluso en esta situación, no está claro si es finito o no. ¿Puede alguien ayudarme con este problema? Gracias de antemano.

Editar :

Aparentemente, esta pregunta ha sido respondida en Demostración de la finitud del grupo a partir de la presentación . Sin embargo, la respuesta dada en el enlace utilizaba la propiedad del grupo triangular que no se da en el álgebra de Dummit y Foote. Dado que el prerrequisito del problema dado es el libro de Álgebra de Dummit y Foote, creo que debe haber otra manera de resolverlo. Así que ¿alguien sabe cómo resolver esto de manera diferente con la respuesta del enlace dado?

Answer 1

Gracias a ParclyTaxel y a Ycor, he podido averiguar la respuesta esperando que no haya ningún error.

En primer lugar, sabemos que $G=\left<a,b,c : a^2=b^3=c^5=abc=1 \right>$ . Ahora, nota que podemos reducir el número de generadores y relaciones de la siguiente manera. $$b=a^2bc^5=a(abc)c^4=ac^4=ac^{-1}$$ Ahora, cambiar el nombre $a=p$ y $c^{-1}=q$ tenemos $$G=\left< p,q : p^2=q^5=(pq)^3=1 \right>$$

Entonces por la respuesta de este enlace, Presentación en grupo de $A_5$ con dos generadores podemos demostrar que $G\cong A_5$ así que $G$ es un grupo finito.