¿Son iguales los cardenales con la misma "función continua"?

Question

Deje $\kappa, \lambda$ dos infinito cardenales tal que para todos los infinitos $\mu, \mu^\kappa = \mu^\lambda$. Es el caso de que $\kappa =\lambda$ ?

Primero de todo, es evidente que si la generalización de la hipótesis continua se mantiene, entonces la respuesta es sí (solo tome $\mu = 2^\kappa$si $\kappa \leq \lambda$).

Si no asumimos GCH, entonces es bien sabido que $\mu = 2^\kappa$ no es suficiente para responder. Estaba pensando que tal vez la evaluación en algunos específcos cardenales como $\kappa, 2^\kappa, \aleph_\kappa, \beth_\kappa$ podría ayudar, pero hasta el momento nada me ha dado una respuesta.

También es posible, por supuesto, que es coherente que $\kappa \neq \lambda$, a pesar de que sería una sorpresa para mí (un poco, con rime que acostumbrarse a estas cosas, supongo); si ese es el caso, podemos incluso elegir cualquier razonables$\kappa, \lambda$ ? (por ejemplo, ¿es coherente que $\kappa = \aleph_0, \lambda = \aleph_1$ ?)

Answer 1

Sí.

Suponga que $\kappa<\lambda$ , tome $\mu=\beth_{\kappa^+}$ , luego $$\beth_{\kappa^+}^\kappa = \beth_{\kappa^+} <\beth_{\kappa^+}^{\kappa^+} \leq \beth_{\kappa^+}^\lambda.