¿Debe un campo (conmutativo, con 1), en el que cada ideal distinto de cero es primo, ser un campo?

Question

Un ejercicio temprano en Irving Kaplansky del conmutativa anillos pregunta:

Vamos a R un anillo. Supongamos que cada ideal en R (aparte R) es primo. Probar que R es un campo.

Esto es fácil si asumimos que el cero ideal es principal. Pero esta suposición es necesario?

Si todos los no-cero ideal es primo, entonces para cualquier no-unidad de $x \in R$ e con $x^{n+1} \ne 0$ debemos tener $\langle x \rangle \subseteq \langle x^{n+1} \rangle$, que requiere la existencia de un elemento $y$la satisfacción de: $$ x(1-x^ny) = 0 $$ La recogida de estos y de las relaciones similares en los elementos, parece más bien restrictiva, pero agradecería una simple e incisivo argumento para demostrar que la condición de que todos los no-cero son los ideales primos sólo puede ser cumplido por los anillos con trivial espectro, o, si mi suposición es incorrecta y esto es falso, un contra-ejemplo.

Answer 1

Esto es falso. Por ejemplo, supongamos $R=K\times L$ donde $K$ e $L$ son campos. A continuación, el único distinto de cero adecuada ideales en $R$ se $K\times 0$ e $0\times L$, ya que ambos son primos, pero $R$ , no es un campo.

Para otro ejemplo, considere la posibilidad de $R=\mathbb{Z}/(p^2)$ para cualquier prime $p$. El único distinto de cero adecuada ideal es $(p)$ que es primo.

Aquí está una clasificación de todos los ejemplos. Supongamos $R$ es un anillo en el que cada valor distinto de cero adecuada ideal es principal. Para cualquier prime $P\subseteq R$, a continuación, $R/P$ tiene la misma propiedad, sino que es un dominio, por lo que debe ser un campo. Por lo tanto, de hecho, todo distinto de cero adecuada ideal es máxima.

Si $R$ tiene dos diferentes distinto de cero adecuada ideales $P$ e $Q$, entonces tenemos que tener en $P\cap Q=0$ (desde la intersección es un no-máxima adecuada ideal). Por el teorema del resto Chino a continuación, obtener un isomorfismo $R\cong R/P\times R/Q$ e lo $R$ es un producto de dos campos.

Si $R$ tiene exactamente un valor distinto de cero adecuada ideal $P$, a continuación, $P$ es el nilradical de $R$ (ya que es el único primer ideal) y es director de la escuela (generados por cualquiera de sus distinto de cero elementos). Esto implica $P^2=0$ (de lo contrario sería un pequeño distinto de cero adecuada ideal) y que $P\cong R/P$ como $R$-módulo (de lo contrario $P$ sería una $R/P$-espacio vectorial de dimensión mayor que $1$ y así tendría un trivial adecuada subespacio). Si el cociente mapa de $R\to R/P$ tiene una sección que es un anillo-homomorphism, entonces podemos identificar a $R$ con $K[x]/(x^2)$ donde $K$ es el campo de la $R/P$. Pero tales secciones no pueden existir, como muestra el ejemplo $R=\mathbb{Z}/(p^2)$ anterior.

Por último, si $R$ no tiene un valor distinto de cero adecuada ideales, ya sea en campo o el cero del anillo.

Todos estos casos pueden estar unidos en las siguientes equivalente caracterización: $R$ es un anillo en el que cada valor distinto de cero adecuada ideal es el primer fib $R$ es un artinian anillo de longitud en la mayoría de las $2$ como un módulo más de sí.