¿La multiplicación de números reales se define únicamente como distributiva sobre la suma?

Question

En el conjunto de los números reales, me pregunto si la ley distributiva únicamente determina la multiplicación. Supongamos que para una función de $f$: $\Bbb{R}\times\Bbb{R}$ $\to$ $\Bbb{R}$ el siguiente mantenga pulsado para cada $x,y,z$, donde $+$ es lo habitual, además de (como se define a través de secuencias de Cauchy racionales), y $1$ es el conocido número natural:

1. $f(x+y,z) = f(x,z) + f(y,z)$
2. $f(x, y+z) = f(x,y) + f(x,z)$
3. $f(1,x) = f(x,1) = x $

De lo anterior no se sigue que la $f(x,y) = xy$, la usual de la multiplicación?

En este post: Son la adición y multiplicación de números reales, como sabemos, es única?
algo relacionado con "dual" es una pregunta respecto de la adición, y una simple solución está dada en la forma de $(x^3+y^3)^{1/3}$. Así que me estoy perdiendo algo que es obvio aquí?

Answer 1

Por un lado, $\Bbb R$ es un espacio de vectores $\Bbb Q$ , por lo tanto, al elegir una base de Hamel, es posible definir innumerables mapas simétricos $\Bbb Q$ %% $\Bbb R\times\Bbb R\to\Bbb R$ , incluso con el restricción $\phi(1,\bullet)=\phi(\bullet,1)=id$ . Sin embargo, el único continuo entre estos es el producto habitual.

Answer 2

Por primera vez en una natural $n$ $f(x,n)= \underbrace{f(x,1)+...+f(x,1)}_{n \text{. times}}=nx$

A continuación, para una racional $1/n$ $x=f(x,1)=f(x,n/n) = n f(x,1/n) $ lo $f(x,1/n) =x/n$

Ahora para un $y$ que es una secuencia de Cauchy de números racionales $y=\lim r_n$ $f(x,y) = f(x,\lim r_n) = \lim f(x,r_n)= \lim x r_n = xy$ tirando límite exterior requieren de la continuidad de $f$