Calcular la derivada 100

Question

Un amigo me propuso un problema bastante complicado, a saber, encontrar el $100^{th}$ derivado de $$f(x)=\frac{x^2+1}{x^3-x}.$$ He calculado la derivada zeroth $$\frac{x^2+1}{x^3-x}$$ y la primera derivada $$\frac{2x(x^3-x)-(3x^2-1)(x^2+1)}{(x^3-x)^2}=\frac{1-x^4-4x^2}{(x^3-x)^2}$$ pero no veo ninguna estructura evidente.

Answer 1

Escriba su función como $$\frac{x^2 + 1}{x^3 - x} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x}$$

Answer 2

Sugerencia: ya que $x^3-x=x(x-1)(x+1)$ puede dividir fácilmente $f(x)$ en fracciones parciales.

Answer 3

$$\frac{x^2+1}{x^3-x}=\frac{x^2-1+2}{x^3-x}=\frac{1}{x}+\frac{2}{x(x-1)(x+1)}=$$ $$=\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+2\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\right)=$$ $$=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}.$$ ¿Puedes terminar ahora?