Un amigo me propuso un problema bastante complicado, a saber, encontrar el $100^{th}$ derivado de $$ f(x)=\frac{x^2+1}{x^3-x}. $$ He calculado la derivada zeroth $$ \frac{x^2+1}{x^3-x} $$ y la primera derivada $$ \frac{2x(x^3-x)-(3x^2-1)(x^2+1)}{(x^3-x)^2}=\frac{1-x^4-4x^2}{(x^3-x)^2} $$ pero no veo ninguna estructura evidente.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
runeh
Puntos
1304
Michael Rozenberg
Puntos
677
$$\frac{x^2+1}{x^3-x}=\frac{x^2-1+2}{x^3-x}=\frac{1}{x}+\frac{2}{x(x-1)(x+1)}=$$ $$=\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+2\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\right)=$$ $$=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}.$$ ¿Puedes terminar ahora?
1 votos
Dos probablemente no serán suficientes. Sigue diferenciando y puede que haya un patrón.
0 votos
Esto puede ayudar o no, pero $1-x^4 -4x^2 = 2(x^2 -1) -(x^2 +1)^2$