¿Puede$\frac{1}{2a}\left(-b+\sqrt{b^2-4ac}\right)$ ser racional si$a=3n_1$,$b=-3n_1^2$,$c=n_1^3-n_2^3$, para un racional positivo$n_i$ con$n_1<n_2$?

Question

Deje $n_{1}$ e $n_{2}$ ser los números racionales positivos tales que $n_{1}<n_{2}$. Deje $a=3n_{1}$, $b=-3n_{1}^2$, $c=n_{1}^3-n_{2}^3$.

Puede $$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ ser un número racional?

En mi problema, a ver Parcly Taxel respuesta, quiero $h_{w_1},h_{w_2}$ e $h$ a todos a ser los números racionales positivos con $(h_{w_1}<h_{w_2})$. Es eso posible?

Answer 1

EDIT: Este post ha perdido un factor importante que $n_1 < n_2$, lo que significa que este post no responde a la pregunta.

Supongo que tu hablando de ecuaciones cuadráticas y la fórmula cuadrática. Entonces usted tiene la entrada de $3n_1x^2 - 3n_1x + n_1^3 - n_2^3 = 0$, entonces la fórmula cuadrática $\frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$. Si queremos insertar todos los valores, se obtiene el siguiente término:

$$\frac{3n_1 + \sqrt{9n_1^2 -4(3n_1)(n_1^3 - n_2^3)}}{6n_1} \in \mathbb{N}$$ $$n_1 \ne 0$$

Dado que la pregunta sólo se pregunta "¿Puede ser racional?", sólo tenemos que encontrar un par que hace que la ecuación racional: Desde $n_1$ es racional, podemos ignorar todo lo que esté fuera de la raíz, lo que nos da:

$$\sqrt{9n_1^2 -4(3n_1)(n_1^3 - n_2^3)} \in \mathbb{N}$$ $$n_1 \ne 0$$

La reforma de la ecuación

$$\sqrt{9n_1^2 -4(3n_1)(n_1^3 - n_2^3)} = \sqrt{9n_1^2 - 12n_1^4 + 12n_1n_2^3}$$

Ahora el objetivo es mostrar que la $\sqrt{9n_1^2 - 12n_1^4 + 12n_1n_2^3}$ es un número racional, por la que se reforma da $\sqrt3\sqrt{3n_1^2 - 4n_1^4 + 4n_1n_2^3}$. Esto significa que el derecho de la raíz debe ser de la forma $3 \cdot x^2$, por lo que el resultado tiene sentido.

Answer 2

Nos fijamos en un caso más general, donde sólo requerimos $a,b,c$ e $(-b+\sqrt{b^2-4ac})/(2a)$ a ser racional.

Una condición necesaria es $$y^2 = b^2-4ac = 3n_1(4n_2^3-n_1^3)$$ para algunos racional $y$. Ya que no podemos tener $n_1=0$ debido a que el denominador de $2a$, podemos suponer que la $n_1\neq 0$.

Multiplicando por $144/n_1^4$ y ajuste de $n_2 = \dfrac{n_1X}{12},y=\dfrac{n_1^2Y}{12}$, obtenemos una Curva Elíptica $E$ sobre los racionales $$ E: Y^2=X^3-432 $$ Esto nos dice que cada solución racional $(a,b,c,y)$ a nuestra ecuación original se debe asignar a algunos racional punto de $(X,Y)$ a $E$. De ahí podemos partir de $E$ y trabajar hacia atrás.

Ahora la parte crítica es esta Curva Elíptica $E$ es bien conocido que sólo tienen las soluciones $(X,Y) = (12,\pm 36)$ sobre los racionales. Una referencia a partir de aquí.

Esto significa que la única manera posible de soluciones de $(a,b,c,y)$ debe satisfacer $$ \begin{align*} (12,\pm 36) &= (X,Y) = \left(\frac{12n_2}{n_1}, \frac{12y}{n_1^2}\right)\\ (1,\pm 3) &= \left(\frac{n_2}{n_1},\frac{y}{n_1^2}\right) \end{align*} $$ Esto demuestra que debemos tener $n_2/n_1=1$.

Ahora, volviendo a la pregunta original, ya que requieren $n_1<n_2$ esto es imposible.