¿La carga es un punto o una mancha?

Question

Coulomb dio la ley de la fuerza entre dos cargas estáticas considerándolas como puntos en el espacio. Pero la forma diferencial de la Ley de Gauss habla de densidades de carga, algo posible sólo si las cargas están dispersas en el espacio.

Incluso Feynman aborda el problema en sus conferencias cuando dice que al resolver la energía electrostática en el campo de una carga puntual obtenemos el infinito como límite.

Entonces, ¿sabemos ahora que si las cargas son puntuales o se extienden?

Answer 1

No es una cuestión trivial definir esta pregunta de manera que tenga una respuesta definitiva, y ciertamente no se puede obtener una buena respuesta dentro de la física clásica.

Incluso Feynman aborda el problema en sus conferencias cuando dice que al resolver la energía electrostática en el campo de una carga puntual obtenemos el infinito como límite.

Sí, es una buena manera de enfocar el tema. Ahora considere que el electromagnetismo clásico es inherentemente una teoría relativista, por lo que $E=mc^2$ se aplica. Para una partícula con masa $m$ , cargo $q$ y el radio $r$ se espera que la inercia $m$ de la partícula no puede ser mayor que $\sim E/c^2$ , donde $E$ es la energía del campo eléctrico. Esto da como resultado $r\gtrsim r_0=ke^2/mc^2$ , donde $r_0$ se denomina radio clásico del electrón, aunque no sólo se aplica a los electrones.

Para un electrón, $r_0$ es del orden de $10^{-15}$ metros. Los experimentos de física de partículas se hicieron lo suficientemente buenos hace décadas para buscar la estructura interna del electrón a esta escala, y no existe, en el sentido de que el electrón no puede ser una partícula compuesta como un protón a esta escala. Esto sugeriría que el electrón es una partícula puntual. Sin embargo, el electromagnetismo clásico se convierte en una teoría inconsistente si se consideran partículas puntuales con $r\lesssim r_0$ .

Se puede intentar evitar esto modelando un electrón como una esfera rígida o algo así, con cierta densidad de carga, digamos una constante. Esto se exploró ampliamente hacia 1900, y no funcionó. Cuando Einstein publicó la teoría de la relatividad especial, aclaró por qué esta idea había fracasado. Fallaba porque la relatividad no permite objetos rígidos. (En un objeto de este tipo, la velocidad del sonido sería infinita, pero la relatividad no permite hacer señales más rápidas que $c$ .)

Lo que esto demuestra es que si queremos describir la carga y el campo eléctrico de un electrón a escalas inferiores a $r_0$ necesitamos alguna otra teoría de la naturaleza que la E&M clásica. Esa teoría es la mecánica cuántica. En un lenguaje no riguroso, la mecánica cuántica describe la escena a esta escala en términos de fluctuaciones cuánticas rápidas y aleatorias, con pares partícula-antipartícula que surgen y luego se vuelven a aniquilar.

Answer 2

Pero la forma diferencial de la Ley de Gauss habla de densidades de carga, algo que sólo es posible si las cargas están dispersas en el espacio.

En realidad la ley diferencial de Gauss es válida incluso para cargas puntuales. Para cargas puntuales $q$ en el punto $\mathbf x_0$ en lugar de la densidad de carga, utilizamos la distribución de carga $\rho(\mathbf x) = q\delta(\mathbf x-\mathbf x_0)$ .

Incluso Feynman aborda el problema en sus conferencias cuando dice que al resolver la energía electrostática en el campo de una carga puntual obtenemos el infinito como límite.

Ese problema es una cuestión aparte. Existen teorías consistentes tanto para las cargas puntuales como para las extendidas, con energía finita en ambos casos. Ninguna de las dos teorías puede darnos una pista sobre si las partículas reales son puntos o cuerpos extendidos. Esto debe ser investigado mediante experimentos.

Entonces, ¿sabemos ahora que si las cargas son puntuales o se extienden?

Para los electrones, no lo sabemos; todos los experimentos son consistentes con la partícula puntual, pero puede ser un cuerpo extendido de tamaño suficientemente pequeño. El límite actual de décadas para el tamaño de los electrones está cerca de 1e-18 m.

En el caso de los protones, basándose en los experimentos de dispersión y su comprensión en términos de la teoría cuántica de la dispersión, se cree que éstos tienen un tamaño no nulo (de distribución de carga) alrededor de 1e-15 m.

Answer 3

Depende de la escala.

Los electrones suelen considerarse puntuales cuando se observan a una escala mucho mayor que la de un átomo individual.

Pero los semiconductores suelen tener del orden de $10^{12}- 10^{23}$ electrones libres por ${\rm cm^{3}}$ en función de la temperatura y del dopaje. El cobre, como ejemplo de metal, tiene alrededor de $10^{23}$ electrones libres por $\rm cm^3$ .

En estos materiales, si el volumen que está considerando es incluso unos pocos $\rm \mu m^3$ El error que se produce al suponer que la carga está dispersa en lugar de localizada en miles o billones de puntos es muy pequeño.

Si estás estudiando algún sistema con sólo unos pocos portadores de carga presentes, entonces podrías necesitar considerar que la carga está localizada para hacer predicciones precisas sobre ella.

Answer 4

Los electrones se consideran cargas puntuales. Los protones tienen un radio algo menor que un femtómetro. Hay una controversia sobre el valor preciso del radio del protón . Así que un protón puede considerarse una mancha, aunque muy pequeña.