¿Cómo debo entender el $\sigma$ -¿Álgebra en la ley cero-uno de Kolmogorov?

Question

Estoy aprendiendo La ley cero-uno de Kolmogorov en la teoría de la probabilidad:

Dejemos que $(,{\mathcal F},P)$ sea un espacio de probabilidad y sea $F_n$ sea una secuencia de $\sigma$ -contenidas en $\mathcal{F}$ . Sea $$G_n=\sigma\bigg(\bigcup_{k=n}^\infty F_k\bigg)$$ sea el más pequeño $\sigma$ -que contiene $F_n, F_{n+1}, \dots$ . Entonces la ley del cero uno de Kolmogorov afirma que para cualquier evento $$ F\in \bigcap_{n=1}^\infty G_n$$ uno tiene $P(F) = 0$ o $1$ .

No tengo ni idea de cómo $G_n$ y $\bigcap_{n=1}^{\infty} G_n$ sería. ¿Qué sentido tiene esa construcción? ¿Alguien podría aportar algún ejemplo concreto de cómo funciona este teorema?

Answer 1

El nombre habitual del álgebra sigma que tienes ahí es la "cola" $\sigma-$ el álgebra. Es todo aquello que no depende de un número finito de $\sigma-$ álgebras.

Suelo pensar en la ley 0-1 de Kolmogorov de la siguiente manera: si se tiene una secuencia de variables aleatorias independientes y un suceso que es invariable si se ignoran finamente muchas de las variables, entonces la probabilidad de ese suceso es 0 o 1.

Un ejemplo típico de cómo se puede utilizar esto es para demostrar que la convergencia en el teorema del límite central clásico no puede ser casi segura.

Dejemos que $X_i$ sea una secuencia de $iid$ variables aleatorias con $EX_i = 0$ y $EX_i^2 = 1$ y que $$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$$

Es fácil ver que para cualquier $n$ y $M>0$ el evento $$\{ \limsup_k \frac{S_k}{\sqrt{k}} >M\}$$ se encuentra en $$\sigma(\cup_{k=n}^\infty F_k)$$ ya que sólo depende de la "cola" de nuestra secuencia (esto queda claro si se escribe la definición de $\limsup$ ). Por lo tanto, por independencia, la probabilidad de este evento es 0 o 1. Utilizando el teorema del límite central, no es difícil ver que esta probabilidad es positiva para cualquier $M$ y por lo tanto es $1$ . Obtenemos entonces que $$P(\limsup \frac{S_k}{\sqrt{k}} = \infty) = 1$$

La simetría da que $$P(\liminf \frac{S_k}{\sqrt{k}} = - \infty) = 1$$ por lo que no podemos tener una convergencia casi segura (o convergencia en probabilidad).

Answer 2

Aunque la cola $\sigma$ -es una sub- $\sigma$ -de la álgebra de $\mathcal{F}$ En cierto sentido, puede ser mucho más complejo. En particular, la cola $\sigma$ -puede no ser generada contablemente, incluso en los casos más adecuados. Esto implica que no puede haber ninguna variable aleatoria (de valor real) que represente el contenido informativo de la cola- $\sigma$ -álgebra en general.

Un átomo en un $\sigma$ -es un conjunto medible no vacío que no tiene un subconjunto propio medible no vacío. Un espacio medible es atómica si cada punto está contenido en algún átomo (los átomos forman una cubierta).

Lema: Si $(\Omega,\mathcal{F})$ es generada contablemente, entonces es atómica. Si hay un $0-1$ -medida valorada $\mu$ en $(\Omega,\mathcal{F})$ entonces existe un átomo $A$ tal que $\mu(A)=1$ .

Prueba (boceto): Dejemos que $\mathcal{C}$ sea una familia contable tal que $\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{F}$ . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\mathcal{C}$ es cerrado bajo complementos. Entonces para cada $\omega\in\Omega$ el conjunto $A(\omega)=\bigcap\{A\ni\omega:A\in\mathcal{C}\}$ es medible y el átomo que contiene $\omega$ . Ahora bien, si $\mu$ es $0-1$ -el para cada $A\in\mathcal{C}$ o bien $\mu (A)=1$ o $\mu (A^C)=1$ . La intersección de todos los eventos de medida uno en $\mathcal{C}$ es un átomo con medida uno.

Corolario: La cola $\sigma$ -álgebra en $\Omega=\{0,1\}^\infty$ no está generada contablemente.

Prueba: Dotar al espacio de la medida justa de lanzamiento de moneda. Sea $\omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\ldots\}$ sea cualquier elemento de $\Omega$ . Sea $A_\omega^n$ sea el conjunto de todas las secuencias en $\Omega$ que coinciden con $\omega$ en todas las coordenadas excepto, quizás, en la primera $n$ coordenadas. Claramente, $A_\omega^n$ es contable y también lo es $B_\omega=\bigcup_n A_\omega^n$ . Así que $\mu (B_\omega)=0$ . También, $B_\omega$ está en la cola $\sigma$ -Álgebra. Pero como $\omega$ fuera arbitraria, esto demuestra que cada átomo tendría medida cero. Por el lema, la cola $\sigma$ -no es generada contablemente.

El argumento está tomado de Espacios de Borel por Rao y Rao (1981).