Pregunta bastante simple: ¿existe un mapa de preservación del área desde el plano hiperbólico al plano euclidiano?
Si no, ¿existe un mapa de preservación de área desde un subconjunto arbitrariamente grande del plano hiperbólico hasta un subconjunto arbitrariamente grande del plano euclidiano?
Si es así, ¿cómo se ve el mapa? Básicamente sería similar a la "proyección de Mollweide".
No existe en realidad un área de preservación de la mapa, como se demuestra en este video a las 11:20: el Lambert azimuthal de igualdad del área de proyección.
La idea es que se tome coordenadas polares del plano hiperbólico y asignarlos a las coordenadas polares del plano euclidiano a través de un mapa de $(r, \theta) \mapsto (f(r), \theta)$ donde $f$ elegido es tal que el área se conserva.
Vamos a derivar $f$:
Deje $h(r)$ ser el área de un hiperbólico de la bola de radio $r$, e $e(r)$ ser el área de un euclidiana de la bola de radio $r$.
Suponiendo que el plano hiperbólico tiene curvatura $-1$, es cierto que $h(r) = 2\pi(\cosh(r)-1)$ e $e(r) = \pi r^2$.
Queremos asegurarnos de $h(r) = e(f(r))$. La sustitución y el reordenamiento de los rendimientos de $f(r) = \sqrt{2\cosh(r)-2}$.
Otra área de la preservación de mapa, que es análoga a la proyección sinusoidal:
Elija cualquiera de los geodésica $g$ en el plano hiperbólico, y marca un punto especial $O$ sobre el mismo.
Para cualquier punto de $P$ sobre el plano hiperbólico, proyecto $P$ perpendicularmente a $g$ para obtener un punto de $Q$. Deje $x$ denotar el firmado distancia $OQ$, vamos a $y$ denotar el firmado distancia $QP$.
A continuación, el mapa que lleva a $P$ hasta el punto de $(x \cosh y, y)$ es de igual área.
La similitud se obtiene como tal: Si va a reemplazar el plano hiperbólico con una esfera, y deje $g$ ser el ecuador en particular, y reemplace $\cosh$ por $\cos$, se obtiene la proyección sinusoidal.
Por último, vamos a hacer un análogo de la Lambert cilíndricos de igual área de proyección de la esfera, tomando la configuración anterior y asignación de $P$ hasta el punto de $(x, \sinh y)$ lugar. De nuevo, este mapa es de igual área.
El análogo: En la esférica caso, el mapa mapas de $P$ a $(x, \sin y)$.
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