¿Podría * I * haber llegado a la definición de Compacidad (y Conectividad)?

Question

Ok, el cinturón de seguridad por un muy largo en cuestión. He pasado una gran parte de hoy de aprendizaje acerca de la compacidad, debido principalmente a partir de este artículo de la wikipedia sobre el punto-conjunto de topología. El artículo menciona tres cosas principales: la continuidad, la conectividad, y la compacidad. Me referiré a cada uno en su turno, pero mi pregunta es principalmente acerca de la última.

Continuidad: Al menos después de haber pasado por la escuela secundaria de cálculo y básica de la universidad análisis, creo que la gente tiene una gran comprensión intuitiva de continuidad (y también la diferenciabilidad supongo): suave = yay!, jagged = fino-ish, agujeros/saltos = muy mal :(. El artículo de wiki describe esto como "tomar cerca de lugares cercanos a los puntos", que entiendo muy bien que yo creo que dada una década o algo que eventualmente podría haber llegado con el formal epsilon-delta definición de continuidad: $$\forall \varepsilon >0, \exists \delta, \text{ s.t. } |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon $$

Conectividad: del mismo modo, creo que la gente tiene una gran intuición para la conexión (al menos la ruta de conexión), que el artículo de wiki resume muy bien como "establece que no puede ser dividido en dos piezas que están lejos". De nuevo, creo que dada una década o dos, me podría haber ido en la dirección correcta, al menos para la definición formal de la conexión: un conjunto que no puede ser representado como la unión de dos o más desunido no vacía de subconjuntos abiertos.

Primero (Menor de edad) Pregunta: ¿podemos tener una definición útil para la conectividad de ser: "un conjunto que no puede ser representado como la unión de dos o más disjuntos no vacíos cerrado subconjuntos"?

Del mismo modo, tengo la sensación de que razonablemente pueda desarrollar definiciones para abrir sets (basado en intuiciones del número de líneas y básico de la escuela secundaria de álgebra/teoría de conjuntos), y la integridad (básicamente la menor cota Superior de la axiom/secuencias de Cauchy). Sin embargo, hay una cosa que falta. Compacidad. Nunca en un millón de años no creo que yo podría haber pensado que de la definición de un conjunto que puede ser "puede ser cubierto por un número finito de conjuntos de tamaño arbitrariamente pequeño." He mirado en estos cinco sitios y algunos enlaces en el mismo:

• ¿Por qué es compacto tan importante?
• Cuál debe ser la intuición cuando se trabaja con la compacidad?
• https://www.math.ucla.edu/~tao/memorias/compacidad.pdf
• https://www.reddit.com/r/math/comments/47h6hg/what_really_is_a_compact_set/
• https://arxiv.org/abs/1006.4131

pero ninguno de ellos hasta ahora realmente ha hecho clic con mí. Mucha gente hizo hincapié en que es una versión generalizada de la finitud con la "grasa borrosa puntos", y también entiendo que por la de Heine-Borel Teorema de compacidad es equivalente a "cerrado y acotado" en el espacio Euclidiano, pero esas dos cosas parecen tan lejos que apenas se parece como un negro de la magia de la casualidad que describen el mismo fenómeno.

¿Cómo se puede motivar y explicar la definición y el concepto de compacidad a sus estudiantes de tal manera que sienten que podría haber llegado con ellos mismos, naturalmente, habida cuenta de una década o dos?

Si usted comienza con "es una versión generalizada de la finitud" parece una total y absoluta coincidencia que pasa a ser equivalente a "cerrado y acotado". Me refiero a que de todos los posibles "generalizado finitud formulaciones", ¿cómo la nuestra correctamente?

Si usted comienza con "es sólo otra manera de decir cerrado y acotado", luego que los estudiantes se sientan que es más arbitrario confusión redefinición de las cosas que ya saben (es decir, que de cerrado-ness y acotamiento); además, incluso si ellos no aceptan esta explicación, nunca habría averiguado por su cuenta que "cada apertura de la tapa tiene un número finito de subcover $\iff$ cerrado y acotado". "Finito subcover" sólo parece tan fuera-de-izquierda-campo.

Y por último, si usted ve la compacidad secuencial de la ruta (refiriéndose a Tao del papel aquí) los estudiantes se acaba de decir "ahh sí, la de Bolzano-Weierstrass Teorema! Por qué la necesidad de dar un nuevo nombre de compacidad?"

Tal vez me he perdido algo en mis búsquedas, pero espero que esta pregunta no es sólo un mal campean vieja pregunta. No creo que mi pregunta es contestada en la "Historia Pedagógica de Compacidad" principalmente porque no quiero que la intrincada historia, sino la más simple, la motivación y la explicación se basa moderno plan de estudios y la notación.

-> También, gracias a los que han comentado/izquierda una respuesta. Espero que esta página y en todas las diferentes pedagógica de las interpretaciones presentadas servirá como un relativamente completa y exhaustiva guía para principiantes en el aprendizaje de la compacidad en el futuro.

Answer 1

Voy a hacer una puñalada en el "compactness" aquí. Supongamos que quieres demostrar algo acerca de los conjuntos de, digamos, en un espacio métrico. Le gustaría, decir, definir la "distancia" entre un par de conjuntos de $A$ e $B$. Has pensado acerca de esta cuestión, por ejemplo, para finito de conjuntos de números reales, y las cosas funcionaron bien, y usted está esperando para generalizar. Así que usted dice algo así como "voy a tomar todos los puntos en $A$ y todos los puntos en $B$ y mirar a $d(a, b)$ para cada uno de aquellos, y, a continuación, tomar el min."

Pero luego te das cuenta de que "min" podría ser un problema, debido a que el conjunto de $(a,b)$-pares podría ser infinita, incluso uncountably infinito, pero "min" sólo está definida para finito de conjuntos.

Pero he encontrado esto antes, y te dicen "Ah...voy a reemplazar por "inf" la forma en que estoy acostumbrado!" Esa es una buena opción. Pero ahora algo extraño sucede: te encuentras con un par de conjuntos de $A$ e $B$ , cuya distancia es cero, pero que no comparten los puntos. Que había descubierto que, en analogía con lo finito-grupos-de-$\Bbb R$, la distancia de cero sería "algún punto es en el que ambos conjuntos", pero eso simplemente no es cierto.

Luego de pensar un poco y darse cuenta de que si $A$ es el conjunto de todos los negativos de reales, y $B$ es el conjunto de los reales positivos, la "distancia" entre ellos es cero (según su definición), pero ...no hay superposición. Esto no es algo extraño métrica espacio-cosa ... esto pasa incluso en $\Bbb R$. Y usted puede VER cuál es el problema --- es el "casi" llegar a cero" de los problemas, debido a que $A$ e $B$ están abiertos.

Así que de vuelta hacia arriba y decir: "Mira, voy a definir esta noción sólo para cerrado de conjuntos; que van a solucionar este estúpido problema de una vez por todas!"

Y entonces alguien dice "Vamos a $A$ ser $x$eje $\Bbb R^2$ y deje $B$ ser la gráfica de $y = e^{-x}$." Y te das cuenta de que ambos son conjuntos cerrados, y que no se cruzan, pero la distancia que ha definido es todavía cero. Maldita sea!

Usted mira más de cerca, y te das cuenta que el problema es con $\{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$. Ese conjunto es un conjunto infinito de números positivos, pero el inf se las arregla para ser cero. Si se tratara de un finito conjunto, el inf (o el min -- lo mismo en ese caso!) sería positivo, y todo funciona de la manera que se suponía que era.

Mirando a $A$ e $B$, en lugar de buscar en todo punto en $A$ e $B$, usted podría decir: "Mira, si $B$ es a distancia $q$ de $A$, luego alrededor de cualquier punto de $B$, yo debería ser capaz de colocar un (abierto) bola de radio $q$ sin golpear $A$. ¿Cómo 'bout me repensar las cosas, y decir que este lugar: considerar, para todos los puntos de $b \in B$, el mayor $r$ tal que $B_r(b) \cap A = \emptyset$...y luego me voy a tomar el más pequeño de estos "radios" como la distancia.

Por supuesto, que todavía no funciona: el conjunto de radios, siendo infinito, aún puede tener cero, como su inf. Pero, ¿y si se pudiera escoger sólo un número finito de ellos? A continuación, usted podría tomar un minuto y obtenga un número positivo.

Ahora, que el enfoque exacto no realmente, pero algo bastante cerca de la que hace el trabajo, y situaciones como la que sigue subiendo: tienes una colección infinita de abrir las bolas, y quiere tomar el radio mínimo, pero "min" tiene que ser "inf" y que podría ser cero. En algún punto, usted dice "Oh, el infierno. Esta prueba no está trabajando, y algo así como que el gráfico-y-$x$-eje problema sigue arruinando a mí. ¿Cómo 'bout me acaba de reiterar la afirmación y decir que sólo estoy haciendo esto para los conjuntos donde mi colección infinita de abrir conjuntos de siempre puede ser reducido a un conjunto finito?"

Su escéptico colega de toda la sala viene y explicar su idea, y su colega dice "estás limitando su teorema de estos 'especial', conjuntos, donde cada cubrimiento por abiertos de conjuntos tiene una finito subcover .. .que parece bastante extrema restricción. Hay realmente ninguna conjuntos con esa propiedad?"

Y te vas y trabajar por un tiempo y convencerte de que la unidad de intervalo tiene esa propiedad. Y entonces te das cuenta de que en realidad si $X$ es especial y $f$ es continuo, $f(X)$ también es especial, así que de repente tienes toneladas de ejemplos, y usted puede decirle a su colega que no se está jugando con el conjunto vacío. Pero el colega le pregunta, "bueno, está Bien. Así que hay un montón de estos. Pero este finito de subcover material parece bastante...raro. ¿Hay algún equivalente de la caracterización de estos conjuntos especiales?"

Resulta que hay no - el "cambio infinito en el finito" es realmente el secreto de la salsa. Pero en algunos casos-como "los subconjuntos de $\Bbb R^n$ -- hay un equivalente caracterización, es decir "cerrado y acotado". Bueno, eso es algo que todo el mundo puede entender, y es bastante razonable tipo de configuración, por lo que necesita una palabra. Es "compacto" la palabra que yo hubiera elegido? Probablemente no. Pero sin duda, coincide con el "limitado"-ness, y no es una mala palabra, por lo que se pega.

El punto clave aquí es que la idea de compacidad surge debido a los múltiples casos de personas que tratan de hacer las cosas y encontrar a todos nos funcionan mejor si tan sólo pudieran reemplazar una cubierta por un número finito de la cubierta, a menudo, así que se puede tomar un "min" de algún tipo. Y una vez que algo se utiliza lo suficiente, se pone un nombre.

[Por supuesto, mi "historia" aquí es todo ficción, pero hay un montón de casos de este tipo de cosas recibiendo el nombre. Frases como "en general" posición de surgir, por ejemplo, para mantenernos fuera de la maleza de un sinfín de casos especiales que son arbitrariamente cerca de la perfección agradable casos.]

Lo siento por la larga y laberíntica discurso, pero yo quería hacer en el caso de que el tropiezo en la noción de compacidad (o "transformación lineal", o "grupo") ¿no es inverosímil.

Uno de los grandes problemas que yo tenía cuando primero el aprendizaje de las matemáticas es que yo pensaba que todo esto fue entregada a Moisés en tablas de piedra, y no se dio cuenta de que se produjo mucho más orgánicamente. Quizás una de las sugerencias fue cuando aprendí acerca de los espacios topológicos, y una de las clases de espacios de "T-2 1/2". Parece bastante claro que alguien se ha saltado algo y luego volvió y se vierte en un lugar que no estaba allí, dando "la mitad de la serie" como un nombre. (Esto bien podría estar equivocado, pero es seguro de cómo se veía a un principiante!)

Answer 2

En lugar de "Podría $\text{*I*}$ ..." aquí nos fijamos en "Podría $\text{*Leibnitz/Newton/Cantor*}$ ...".

Tenemos estas tres trabajan juntos fusión de sus teorías juntos mientras trabajando en algo realmente práctico - que están tratando de hacer sentido de la integral definida,

$$\tag 1 \int_a^bf(x)\,dx $$

donde es $f$ es una función continua sobre el intervalo cerrado $[a,b]$.

'Saben' lo especial de este intervalo cerrado de dominio es, ya que es "claro" que se puede calcular el área entre la gráfica y el $x$ eje (en este punto de Cauchy se muestra a mantenerlos en buen camino).

Les gusta el hecho de que pueden demostrar cosas utilizando los conjuntos, pero finalmente se descubre la esencia, la definición de lo que significa para una función uniformemente continua.

Finalmente probar este paso preliminar (un.k.una de las Heine–Cantor teorema) en sus análisis de las $\text{(1)}$ :

LEMA 1 de Continuidad en un intervalo cerrado implica la continuidad uniforme.

Véase también el presente.

Ellos vinieron con el 'finito subcover idea'. Ellos saben que el intervalo abierto $(0,1)$ está conectado y completa, y que $[0,1]$ también está conectado y completa, PERO tiene otras propiedades. Les gusta alliterations así que deciden llamar a $[0,1]$ un compacto, conectado, completo y cerrado intervalo.