¿Cuál es la probabilidad de que una moneda sesgada salga cara, dado que un mentiroso afirma que la moneda salió cara?

Question

Se tira una moneda sesgada.

Probabilidad de la cabeza - $ \frac {1}{8}$

Probabilidad de la cola - $ \frac {7}{8}$

Un mentiroso observa el lanzamiento de la moneda. La probabilidad de que mienta es $ \frac {3}{4}$ y decir la verdad es $ \frac {1}{4}$ . Dice que el resultado es la cabeza. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda se haya convertido realmente en Cabeza?

Mi intento :

Usé la fórmula: $$P(A \mid B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}$$

$\ \ \ \ \ \ $ P(es cabeza DADO mentiroso dijo que es cabeza) = P(es cabeza Y mentiroso dijo que es cabeza) / P(mentiroso dijo que es cabeza)

o, P(es la cabeza DADO mentiroso dijo que es la cabeza) = $ \frac { \frac {1}{8} \frac {1}{4} }{ \frac {7}{8} \frac {3}{4} + \frac {1}{8} \frac {1}{4} }$ [el uso de un árbol de probabilidad será útil aquí]

o, P(es la cabeza DADO mentiroso dijo que es la cabeza) = $ \frac {1}{22}$

La Pregunta: ¿El método que he usado está mal de alguna manera? Algunos otros con los que he hablado dicen que la respuesta será $ \frac {1}{4}$ . Su razonamiento es el siguiente: como el mentiroso miente 3 veces de cada 4 y dijo que es cabeza, entonces la probabilidad de que sea cabeza es de 1/4. Entonces, ¿quién tiene razón? ¿Cuál será la respuesta?

Answer 1

Tienes razón, una forma fácil de comprobarlo es escribiendo los posibles resultados. En un mundo perfecto, si lanzamos la moneda 32 veces ocurrirá lo siguiente:

• 21 veces sale cruz y el mentiroso dijo cabeza.
• 7 veces sale cruz y el mentiroso dijo cruz.
• 3 veces cae cara y el mentiroso dijo cruz.
• 1 vez que cae cabeza y el mentiroso dijo cabeza.

Como se da que el mentiroso dijo cabeza quedan 22 opciones, de las cuales sólo una tiene la moneda que realmente aterriza en cabeza.

Sé que esta no es la forma correcta de resolver esto, pero siempre me ha resultado útil escribir las cosas así cuando me confundía con la probabilidad condicional.

Answer 2

La pregunta: ¿El método que he utilizado es erróneo en algún sentido?

No, su solución es precisa. La moneda rara vez sale cara y se dice de verdad. Es mucho más frecuente que la moneda salga cara y se diga que es cara. Así que cuando se dice que el resultado es cara, es muy poco probable que la moneda sea realmente cara. $$\tfrac{\tfrac 18\tfrac 14}{\tfrac 18\tfrac 14+\tfrac 78\tfrac 34}=\dfrac 1{22}$$

Algunos otros con los que he hablado dicen que la respuesta será $1/4$ . Su razonamiento es el siguiente: como el mentiroso miente $3$ veces de $4$ y dijo que es cabeza, entonces la probabilidad de que sea cabeza es $1/4$ . Entonces, ¿quién tiene razón? ¿Cuál será la respuesta?

Considere la posibilidad de utilizar otra moneda, una con dos colas - por lo que el resultado no puede ser realmente cabezas - mientras que el reportero miente con la misma probabilidad que la anterior. Entonces, si se lanza esta moneda y se dice que ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad (condicional) de que el resultado sea realmente cara?

Su método dice: $0$ , mientras que su método dice $1/4$ .

Answer 3

Me parece que una buena manera de pensar en el problema es una tabla. Primero declaremos las probabilidades

P(Heads) = 1/8
P(Tails) = 7/8
P(Lie)   = 3/4
P(Truth) = 1/4

Con esta información podemos hacer la siguiente tabla

+-------+------------+------------+
|       | Says Heads | Says Tails |
+-------+------------+------------+
| Heads | (1/8)(1/4) | (1/8)(3/4) |
+-------+------------+------------+
| Tails | (7/8)(3/4) | (7/8)(1/4) |
+-------+------------+------------+ 

Como el mentiroso ya nos dijo cabezas podemos ignorar la columna de la derecha. Así que la probabilidad de $P(Heads)P(Truth)$ sería $P(Heads)P(Truth)$ sobre la suma de todas las demás posibilidades en las que el mentiroso dice cara, o

$$ \dfrac{ P(Heads)P(Truth) }{ P(Heads)P(Truth) + P(Tails)P(Lie) } = 1/22 $$

Su planteamiento es correcto, pero es otra forma de justificar la cifra a la que llega.

Answer 4

Su aplicación de la probabilidad condicional es correcta.

ya que el mentiroso miente 3 de cada 4 veces y dijo que es cabeza, entonces la probabilidad de que sea cabeza es 1/4.

Hay que recordar que puede decir una verdad o una mentira. Si efectivamente fuera cara, entonces la probabilidad de que diga la verdad es de 1/4 según la condición dada. Pero hay 3/4 de probabilidad de que esté mintiendo, es decir, que haya sido cruz y que diga cara.

De hecho, con la información "dijo cara", el espacio muestral está formado por los dos resultados (salió cara y dijo la verdad) o (salió cruz y mintió). La pregunta se refiere a la probabilidad de que se produzca el primer resultado. Por lo tanto, es la probabilidad del primero de la probabilidad total de los dos resultados, que has calculado correctamente.

Answer 5

Estoy de acuerdo con las otras respuestas aquí en cuanto a $\frac{1}{22}$ siendo la respuesta "correcta" a esta pregunta.

Sin embargo, también estoy de acuerdo con tus amigos. La respuesta correcta a esta pregunta también es $\frac{1}{4}$ dependiendo de cómo se interprete la pregunta.

También habría estado de acuerdo con la afirmación de que de hecho la respuesta a esta pregunta es $\frac{1}{8}$ sobre la base de que la afirmación del mentiroso no podía tener nada que ver con el resultado de la tirada de la moneda en sí.

La cuestión es que la pregunta "¿Cuál es la probabilidad de que una moneda sesgada salga cara dado que un mentiroso afirma que la moneda salió cara?" es una mala pregunta, porque puede interpretarse de varias maneras igualmente válidas.

En otras palabras, el problema clave aquí es la importancia de la rigurosidad matemática al plantear un problema. El uso de la palabra "dado" es una de mis mayores preocupaciones, ya que puede interpretarse (lingüísticamente) de muchas maneras diferentes. La comunidad matemática ha acordado informalmente que sólo debe implicar una de ellas (la formulación condicional), pero el hecho de que esta afirmación sea lingüísticamente ambigua no ayuda, sobre todo cuando se intenta discutir este tipo de problemas en un contexto de conversación.

Una forma mejor y más precisa de formular matemáticamente su La pregunta es "¿cuál es la probabilidad de que la moneda lanzada haya salido cara, condicionada al hecho de que el mentiroso haya afirmado que salió cara?".

Tus amigos han interpretado efectivamente la pregunta como "basándonos en lo que sabemos sobre el mentiroso, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda haya salido "de hecho" cara (es decir, que el mentiroso haya dicho la verdad), "dado" (es decir, "cuando") que sabemos que el mentiroso miente con una determinada probabilidad fija". ¿Por qué? $\frac{1}{4}$ por supuesto.

Una interpretación igualmente válida podría haber sido "¿Cómo se ve afectado el lanzamiento de la moneda por la declaración del mentiroso?" Cuando se "da" la declaración del mentiroso, ¿afecta de alguna manera al lanzamiento de la moneda? No. Por tanto, "¿cuál es la probabilidad de que la moneda salga cara, "dada" (es decir, teniendo en cuenta la influencia casual en el resultado de) lo que ha dicho el mentiroso?". ¿Por qué? $\frac{1}{8}$ Por supuesto.

En otras palabras, como la gran mayoría de los argumentos de este mundo, tu desacuerdo con tus amigos no era un desacuerdo basado en hechos, sino en definiciones enmascarado como un argumento sobre los hechos. La pregunta que se hace es el doble de importante que la respuesta que se da. Parafraseando a John Tukey: "Prefiero una respuesta aproximada a un problema exacto mucho más que una respuesta exacta a un problema aproximado".

Esto puede parecer un punto pedante, pero en casos más sutiles, es de hecho un problema muy grande cuando se trabaja con probabilidades en problemas formales. Lea sobre el problema de "Monty Hall" para ver un ejemplo famoso que ilustra esto muy bien.