Estoy tratando de demostrar que la siguiente instrucción.
Deje $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$ ser un polinomio de cuarto grado con grupo de Galois $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Mostrar que $f(x)$ es reducible modulo cada prime $p>3$.
No sé cómo se enfoque. Parece $f(x)$ no necesita ser incluso irreductible más de $\mathbb{Q}$. Agradezco cualquier ayuda! Gracias de antemano!
Deje $f\in \mathbb{Z}[x]$ ser un polinomio que, cuando se reduce mod $p$, tiene un factor irreducible de grado $n$. Entonces el grupo de Galois de $\mathbb{Q}[x]/(f(x))$ tiene un $n$ ciclo. Por ejemplo, usted puede ver esto en Lang, álgebra, página 274. Desde el Klein cuatro grupo sólo tiene elementos de orden $2$, este debe obtener lo que desea.
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