Extensión continua de XOR

Question

El $\text{XOR}$ función es una función de $\{0,1\}^2$ a $\{0,1\}$, que se define como:

$\text{XOR}(0,0)=\text{XOR}(1,1)=0$

$\text{XOR}(1,0)=\text{XOR}(0,1)=1$

Estoy interesado en la búsqueda de una extensión de esta función a $\mathbb{R}$. Para ser más específicos, estoy buscando una función de $f$ de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ con las siguientes propiedades (para todos los $x,y,z\in\mathbb{R}$):

• $f(x,y)=f(y,x)$

• $f(x,0)=x$

• $f(x,x)=0$

• $f(x,f(y,z))=f(f(x,y),z)$

• $f$ es continua

Hace una función de este tipo existen? Si sí, ¿cómo se construyen? Si no, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Vamos a denotar $f(x,y) = x \circ y$. Tenemos:

1)$x \circ y = y \circ x$

2)$x \circ x = 0$

3) $x \circ 0 = x$

4)$(x \circ y)\circ z = x \circ (y \circ z)$

Establecimiento $x = y$ en $(4)$ obtenemos $(x \circ x)\circ z = x \circ (x \circ z) \rightarrow 0 \circ z = x \circ (x \circ z) \implies z = x \circ (x \circ z) $.

$$x \circ (x \circ z) = z$$ $$f(x,f(x,z)) = z$$

Esto significa $\circ$ se comporta en $R$ como la composición de un grupo abelian donde todos los no-trivial elemento es de orden $2$. Nuestro $f$ puede ser definido tirando hacia atrás de la composición del grupo de operación a través de un bijection entre $\mathbb{R}$ y un sinnúmero de productos de $Z_{2}$ (donde el trivial elemento corresponde a $0$). Vamos a probar ahora que tal $f$ no puede ser continua.

Considere la posibilidad de $g(x) = f(1,x)$. Si $f$ es continua, por lo que es $g$. Tenemos $g(0) = 1$ e $g(1) = 0$. Considere la posibilidad de $h(x) = g(x) - x$. Tenemos $h(0) = 1$ e $h(1) = -1$. Por el teorema del valor intermedio, existe $y\in (0,1)$ tal que $h(y) = 0$ . Por lo tanto, no existe $y \in (0,1)$ tal que $g(y) = y$. Por lo $f(1,y) = y$. Pero $f(f(1,y),y) = f(y,y)$. Por lo $1 = 0$ . Contradicción. Un continuo $f$ satisfacción $1-4$ no existe.

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Edit: en mi humilde opinión, $\text{XOR}$ se comporta como poco, además. Podemos identificar cada número real con su resto mod. 2. Que es $3.31 \rightarrow 1.31$ e $8.161616 \rightarrow 0.161616$, etc. A continuación, $a$ $\text{XOR}$ $b$ hace $a + b$. Este informal es definido en $[0,2)$. La alternativa sería simplemente hacer bit a bit $\text{XOR}$ con los números escritos como base $2$ secuencias. Por ejemplo. $0.101101...\:\:\text{XOR}\:\:0.011 = 0.110101... $.