¿Cómo se relaciona el propagador cuántico con el principio de Huygens?

Question

Generalmente en la mecánica cuántica, la función de onda se puede propagar a través del llamado Núcleo o Amplitud: $\Psi(x,t) = \int K(x,t;x',t')\Psi(x',t')dx'$. He leído en algún papel que viene de Huygen del principio, y hace que de alguna manera sentido, ya que estamos en el cálculo de la función de onda en algún momento y el tiempo de la función de onda en todos los otros puntos y horarios. Sin embargo, tengo dos preguntas:

Primero de todo, el principio de Huygens se refiere a las ondas, es decir, a las soluciones de la ecuación de onda

$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = v^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.$$

Sin embargo, la ecuación de Schrödinger no es una ecuación de onda, ya que el tiempo y la posición de los instrumentos derivados no de la misma orden.

En segundo lugar, si $\Psi(x,t) = \int K(x,t;x',t')\Psi(x',t')dx'$ es cierto porque de principio de Huygens, simplemente podemos decir que para cada función de onda $u(x,t)$ que satisface la anterior ecuación de onda (que no es la ecuación de Schrödinger) algo como

$$ u(x,t) = \int G(x,t;x',t')u(x',t')dx'$$

siempre se mantiene? Podríamos decir que esta es la formulación matemática del principio de Huygens?

Answer 1

Principio de Huygens en realidad sólo dice que el espacio de una onda viaja a través de es homogénea. La ecuación de onda $\partial_t^2u(x,t)-$ $c^2\partial_x^2u(x,t)=0$ es de las ecuaciones de Maxwell. Podemos también considerar la ecuación de Schroedinger para una ola $\psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}$ con $i\hbar\partial_t\psi(x,t)=$ $E\psi$. El Schroedinger la ecuación de onda de $i\hbar\partial_t\psi(x,t)=$ $H\psi(x,t)$ se reduce entonces a $E\psi(x,t)=H\psi(x,t)$.

Un típico propagador de principio de Huygens se encuentra desde el caso de una onda que pasa a través de una rendija con $\frac{e^{i\vec k\cdot\vec r}}{r}K(r)$ y el propagador sería $$ U(r)=\int\frac{e^{i\vec k\cdot\vec r'-iEt/\manejadores}}{r'}K(r')) dS. $$ Esta es una integración sobre la hemisférico frente de onda por lo $dS=2\pi r'dr'$ y hemos $$ U(r)=2\pi\int e^{i\vec k\cdot\vec r'-iEt/\manejadores}K(r')dr'. $$ El operador Hamiltoniano de una partícula libre $\hat H=-\frac{\hbar}{2m}\nabla^2$ da la ecuación de Schroedinger $$ U(r)=\int e^{ikr'-iEt/\manejadores}\left(\frac{\manejadores}{2m}(k^2 K(r')+2i\vec k\cdot\nabla K(r')+\nabla^2 K(r')\right)=2\pi\int e^{i\vec k\cdot\vec r'-iEt/\manejadores}E. $$ La energía puede ser leído directamente.

La función de $K(r')$ puede ser una función de Bessel, o puede ser por el simple Huygen de Fresnel-caso de $K(r')=\frac{1}{2}(1+cos\theta)$ para el ángulo de $\theta$ el ángulo entre la normal al frente de onda y una línea hasta el punto de $r$. Esto se puede encontrar con elemental de geometría analítica.

La conexión entre nonrelativistic QM y el principio de Huygens es que el kernel es modificado por la ecuación de Schroedinger. El pleno de segundo orden DE las obras de Klein-Gordon ecuación, y de nuevo habría que modificar esto para la ecuación de Dirac.