¿Puede ser convergente el producto de Cauchy de series divergentes consigo mismo?

Question

Para las series $\sum a_n$ y $\sum b_n$ su producto Cauchy es la serie $\sum c_n$ donde $$ c_n = a_0b_n+a_1b_{n-1}+\ldots+a_nb_0. $$ ¿Existe una secuencia $\sum a_n$ tal que:

1. $\sum a_n$ ¿es divergente?
2. El producto Cauchy de $ \sum a_n$ y $\sum a_n$ ¿es convergente?

Answer 1

Dejemos que $c_0=1$ , $c_1=-2$ , $c_n=0$ para $n>1$ . Dejemos que $a_0=1$ y para $n\ge1$ recursivamente $$a_n=\frac12\left(c_n-\sum_{k=1}^ {n-1}a_ka_{n-k} \right).$$ Entonces, claramente $\sum c_n=\sum a_n\cdot \sum a_n$ en el sentido del producto de Cauchy, y $\sum c_n$ es, por supuesto, muy convergente. Supongamos que $\sum a_n$ converge. Entonces $\sum a_n x^n$ converge absolutamente en $(-1,1)$ . Por convergencia absoluta, $\sum c_n x^n=(\sum a_n x^n)^2$ para $|x|<1$ lo cual es absurdo ya que $\sum c_n x^n<0$ para $x>\frac12$ .

Answer 2

Dejemos que $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ sea la serie de Taylor (binomial) de la función $\sqrt{1+x}$ . Entonces:

1) Esta serie de potencias tiene radio de convergencia $1$ , por lo que la serie $f(2)=\sum_{n=0}^\infty a_n2^n$ diverge.

2) En el intervalo $(-1,1)$ tenemos $f(x)f(x)=1+x$ puntualmente, por lo que el producto Cauchy de $f(x)$ con ella misma debe ser la serie de potencia formal $1+x+0x^2+0x^3+\dots$ . En particular, esto significa que el producto Cauchy de $f(2)$ con sí mismo es la serie $1+2+0+0+\dots$ .

(Este es esencialmente el mismo ejemplo que en todas las otras respuestas, pero siento que esta es una manera más fácil de llegar a él. Podríamos sustituir $1+x$ con cualquier otra función holomorfa cuya raíz cuadrada no sea holomorfa en todo su dominio).

Answer 3

Sin pérdida de generalidad, supongamos $a_0 \neq 0$ . Se demuestra que las relaciones de Cauchy $c_n = \sum_{j=0}^n a_j a_{n-j}$ equivalen a $$ a_n = \frac{1}{2a_0}\left(c_n - \sum_{j=1}^{n-1} a_j a_{n-j} \right) \, .$$ Multiplicando $\sum_n a_n$ por una constante global si es necesario, podemos suponer que $2a_0 = 1$ . De ello se desprende que $c_0 = 1/4$ y que $c_1 = a_1$ .

Consideremos el caso de que $c_n = 0$ para $n \ge 2$ para que $\sum_n c_n = 1/4 + c_1$ es convergente. Se demuestra fácilmente por inducción en $n \ge 1$ que existen enteros positivos $A_n$ tal que $a_n = (-1)^{n-1}A_n c_1^n$ . Por lo tanto, siempre que $|c_1| \ge 1$ el límite $\lim_{n\to \infty} a_n$ no es $0$ (si es que existe), por lo que la serie $\sum_n a_n$ diverge.

Nota: : De hecho, basado en la respuesta de John, $A_{n+1} = C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n}$ es el $n$ -número catalán; la aproximación de Stirling permite estimar $A_{n+1} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi} n^{1/2}(n+1)}$ de modo que la construcción anterior funciona si (y sólo si) $|c_1| > 1/4$ .

Answer 4

Me las arreglé para encontrar una construcción.

Poner $a_0 = \frac{1}{2}$ , $a_n = (-1)^{n-1}C_{n-1}x^n$ para $n=1,2,3,...$ donde $C_n$ es el n-ésimo Número catalán .

Así que $\sum a_n = \frac{1}{2} + x -x^2+2x^3-5x^4+14x^5-42x^6+...$

Para $n \geq 2 $ que tenemos:

$c_n = [(-1)^{n-1}C_{n-1} - (-1)^{n-2}(C_0C_{n-2} + C_1C_{n-3}+...+C_{n-2}C_0)]\cdot x^n$

Usando la fórmula conocida: $C_n = C_0C_{n-1}+C_1C_{n-2}+...+C_{n-1}C_0$

Tenemos $c_n$ =0

Así que $\sum c_n = \frac{1}{4} + x + 0 +0 + ...$ que obviamente converge. Ahora poniendo $x=1$ encontramos la serie requerida. ( $\sum a_n$ diverge porque $C_n$ no tiende a 0 como $n \to \infty$ )