Hay muchas preguntas aquí sobre el grupo simple de orden 168, por ejemplo, este , este , este , este , este , este y este . También hay mucha información en Internet sobre este grupo, por ejemplo este . Estoy a punto de preguntar algo muy específico que creo que es diferente de estos, pero por favor, hágamelo saber si me he perdido algo.
Un estudiante mío me mostró recientemente este par de vídeos ( parte 1 , parte 2 ) de Robert Donley (alias Doctor en Matemáticas Bob ), que intenta derivar el número y la estructura de los subgrupos de Sylow del grupo simple de 168, junto con su ecuación de clase, utilizando únicamente la teoría de Sylow, la clasificación de los grupos de orden 8 y argumentos de conteo elementales.
Compro los argumentos del primer vídeo, pero el segundo me parece que contiene una importante laguna de razonamiento. Mi pregunta es sobre cómo parchear el razonamiento del vídeo utilizando únicamente los tipos de herramientas que se utilizan en el vídeo. (Lo más parecido que pude encontrar fue estas notas que utilizan los mismos tipos de herramientas y obtienen los mismos resultados, pero lo que quiero es rescatar específicamente el argumento de Donley en sí). Aquí están los detalles:
Hasta aproximadamente 2m,15s en el segundo video, el argumento ha establecido que:
- Hay 8 subgrupos de Sylow 7, para un total de 48 elementos de orden 7.
- Hay 28 subgrupos Sylow 3, para un total de 56 elementos de orden 3, y todos son conjugados.
- No hay elementos de los órdenes 6 o 14.
En este punto, Donley centra su atención en los subgrupos de Sylow 2, argumentando primero que son no abelianos, y luego utilizando esto para concluir que hay 21 de ellos y que son auto-normalizantes, y procediendo a partir de ahí a utilizar argumentos de conteo para deducir que son isomorfos a $D_4$ . Su argumento de que son noabelianos me parece que tiene una gran laguna. Donley dice, considera un subgrupo de Sylow 2; llámalo $H_8$ . Mira sus elementos de orden 2. Si $H_8=C_2^3$ hay 7; que un subgrupo Sylow 3 actúe por conjugación (esta afirmación es la que me plantea un problema); ya que $3\nmid 7$ , hay una órbita unitaria, por lo que un elemento de orden 2 está centralizado por un elemento de orden 3, y hay un elemento de orden 6, contradicción. Si $H_8=C_4\times C_2$ deja actuar a un subgrupo Sylow 7 y concluye de la misma manera (ya que $7\nmid 3$ ) que existe una órbita unitaria y, por tanto, un elemento de orden 14. Si $H_8=C_8$ deja actuar a cualquiera de los dos porque sólo hay un elemento de orden 2.
Mi objeción es que no se puede dejar que un subgrupo Sylow 3 actúe sobre los elementos de orden 2 en un subgrupo Sylow 2 específico a menos que ya se haya establecido, o al menos se esté asumiendo explícitamente de forma provisional, que el normalizador Sylow 2 contiene un Sylow 3. (Y de forma similar para un Sylow 7 en lugar de un Sylow 3.) ) De hecho, Donley concluye poco después que los Sylow 2 se autonormalizan, razonando que los grupos no abelianos de orden 8 tienen cada uno un centro de orden 2, por lo que un factor de 3 ó 7 que dividiera el orden del normalizador de Sylow 2 implicaría un elemento de orden 2 centralizado por un elemento de orden 3 ó 7, y por tanto un elemento de orden 6 ó 14, por lo que el orden del normalizador de Sylow 2 sólo debe ser divisible por 2. Así que quiere concluir que esto es realmente falso; ciertamente no debería suponerse implícitamente.
Con lo que me gustaría pedirte ayuda es con la reorganización de sólo esta parte específica del argumento, a partir de la información con viñetas de arriba, para obtener la conclusión de que la Sylow 2 es no abeliana. Veo cómo hacerlo utilizando herramientas más potentes (concretamente, Teorema de transferencia de Burnside ), pero me gustaría ver cómo hacerlo utilizando sólo la teoría de Sylow, la clasificación de grupos de orden 8, y el conteo. Si se requiere acceder a información sobre la estructura de $S_4$ También está bien. Realmente estoy pensando en términos de lo que mi estudiante sabe.
Para empezar, creo que es mejor tácticamente considerar el número de Sylow 2 antes de preguntar por su estructura, ya que esto controla si se normalizan por Sylow 3, etc. Por lo tanto, creo que el argumento debe comenzar:
El número de Sylow 2 es, según la teoría de Sylow, 1, 3, 7 o 21. No puede ser 1 porque el grupo es simple, y del mismo modo se puede descartar el 3 porque esto implicaría un homomorfismo no trivial (y por tanto inyectivo, por simplicidad) a $S_3$ lo cual es imposible porque $168>6$ . Así que hay 7 o 21 Sylow 2's.
Supongamos que hay 7. Entonces el normalizador de Sylow 2 es de orden 24, y contiene un Sylow 3, que por lo tanto actúa sobre el Sylow 2. Ahora El razonamiento exacto de Donley puede utilizarse para descartar los casos que $H_8$ es isomorfo a $C_2^3$ , $C_8$ , $D_4$ o $Q_8$ y un pequeño ajuste puede servir para descartar $C_4\times C_2$ . Específicamente, $C_2^3$ tiene 7 elementos de orden 2, por lo que (ya que $3\nmid 7$ ) la acción sobre estos tiene un punto fijo, y el razonamiento exacto de Donley da entonces un elemento de orden 6, una contradicción. Mientras tanto, los cuatro $C_4\times C_2$ , $C_8$ , $D_4$ y $Q_8$ tienen un subgrupo característico de orden 2, por lo que éste también es un punto fijo, lo que lleva a la misma contradicción. (Para $C_4\times C_2$ , está generada por el único elemento de orden 2 que es un cuadrado. Para los otros tres, fue identificado por Donley, ver arriba: el único subgrupo de orden 2 en $C_8$ y los centros de $D_4$ y $Q_8$ .) Estas contradicciones descartan ahora la posibilidad de que haya 7 Sylow 2; debe haber 21, y deben ser autonormalizantes.
La verdadera pregunta que tengo es:
A partir de aquí, ¿cómo concluimos que los Sylow 2 no son abelianos?
La línea de argumentación de Donley no es válida porque conozca que los Sylow 3 y los Sylow 7 no actúan sobre un Sylow 2.
La respuesta de alta tecnología es el teorema de transferencia de Burnside. Si $H_8$ es abeliano y autonormalizante, entonces ciertamente es central en su normalizador, y el teorema de transferencia de Burnside nos da entonces un 2-complemento normal, lo cual es imposible ya que el grupo es simple.
Pero cómo lo harías utilizando sólo la teoría de Sylow, la clasificación de grupos de orden 8, el conteo y, si lo necesitas, la estructura de $S_4$ ? (¿Y las viñetas de arriba?)
