El límite $\lim_{r\to0}\frac1r\left(1-\binom{n}{r}^{-1}\right)$

Question

Me han sacado de forma numérica (Ver también Wolfram) que tenemos $$\lim_{r\to0}\frac1r\left(1-\frac1{\binom{n}{r}}\right)=H_n$$ donde $H_n$ indica el $n$ésimo número Armónico y definimos el coeficiente binomial por $$\binom{n}{r}=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(r+1)\cdot\Gamma(n-r+1)}$$ Alguien ha visto a este resultado o similares en el resto de matemáticas de la literatura? Es posible demostrar analíticamente este resultado? Sería este resultado ser útiles para calcular el $H_n$ explícitamente (especialmente para los complejos argumentos)?

Answer 1

Usemos la función Beta:

PS

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También podemos escribir:

PS

Lo que nos da:

PS

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Según la definición habitual de los números armónicos.

Answer 2

Usted podría incluso conseguir más que el límite de sí mismo, ya que, por $r$ cerca de $0$ $$\binom{n}{r}=1+r H_n+\frac{1}{12} r^2 \left(6 \left(H_n\right){}^2-6 \psi ^{(1)}(n+1)-\pi ^2\right)+O\left(r^3\right)$$

$$\frac 1{\binom{n}{r}}=1-r H_n+\frac{1}{12} r^2 \left(6 \left(H_n\right){}^2+6 \psi ^{(1)}(n+1)+\pi ^2\right)+O\left(r^3\right)$$ $$\frac1r\left(1-\frac1{\binom{n}{r}}\right)=H_n-\frac{1}{12} r \left(6 \left(H_n\right){}^2+6 \psi ^{(1)}(n+1)+\pi ^2\right)+O\left(r^2\right)$$

Answer 3

Podemos escribir $$ \eqalign{ & {1 \over r}\left( {1 - {1 \over {\left( \matriz{ n \cr r \cr} \right)}}} \right) = {1 \over r}\left( {1 - {{\Gamma \left( {i + 1} \right)\Gamma \left( {n - r + 1} \right)} \over {\Gamma \left( {n + 1} \right)}}} \right) = \cr & = \left( {{{\Gamma \left( {n + 1} \right) - \Gamma \left( {i + 1} \right)\Gamma \left( {n + 1 - r} \right)} \over {i\,\Gamma \left( {n + 1} \right)}}} \right) = \cr & = {1 \over {\Gamma \left( {n + 1} \right)}}\left( {{{\Gamma \left( {n + 1} \right) - \left( {1 - \gamma \,r + O(r^{\,2} )} \right)\Gamma \left( {n + 1 - r} \right)} \over r}} \right) = \cr & = {1 \over {\Gamma \left( {n + 1} \right)}}\left( {{{\Gamma \left( {n + 1} \right) - \Gamma \left( {n + 1 - r} \right)} \over r} + \gamma \,\Gamma \left( {n + 1 - r} \right) + O(r)\,\Gamma \left( {n + 1 - r} \right)} \right) \cr} $$

y así $$ \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{i\, \a \,0} \;{1 \over r}\left( {1 - {1 \over {\left( \matriz{ n \cr r \cr} \right)}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{i\, \a \,0} {{\left( {{{\Gamma \left( {n + 1} \right) - \Gamma \left( {n + 1 - r} \right)} \over r}} \right)} \over {\Gamma \left( {n + 1} \right)}} + \gamma = \cr & = \psi (n + 1) + \gamma = H_ {\n} \; \cr} $$

Answer 4

Podemos aplicar la regla de L'Hôpital en el$0/0$ caso de forma indeterminada% dando$$\lim_{r\to0}\frac{1-1/\binom{n}{r}}{r}=\lim_{r\to0}\frac{\psi(n-r+1)-\psi(r+1)}{\binom{n}{r}}=\psi(n+1)+\gamma=H_n$ $

Answer 5

Aunque $\binom{n}{r}$ generalmente solo se define para $r\in\mathbb{Z}$ , esta sería una extensión natural para % no integral $r$ . Con esta extensión, y esta respuesta , que dice que $\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=-\gamma+H(x-1)$ , $$ \begin{align} \lim_{r\to0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\binom{n}{r} &=\lim_{r\to0}\binom{n}{r}\left[\frac{\Gamma'(n-r+1)}{\Gamma(n-r+1)}-\frac{\Gamma'(r+1)}{\Gamma(r+1)}\right]\\ &=\frac{\Gamma'(n+1)}{\Gamma(n+1)}-\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}\\[6pt] &=(H_n-\gamma)-(H_0-\gamma)\\[12pt] &=H_n \end {align} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \lim_{r\to0}\frac1r\left(1-\frac1{\binom{n}{r}}\right) &=\lim_{r\to0}\frac1{\binom{n}{r}}\frac{\binom{n}{r}-1}{r}\\ &=\lim_{r\to0}\frac1{\binom{n}{r}}\frac{\binom{n}{r}-\binom{n}{0}}{r-0}\\ &=\left.\frac1{\binom{n}{r}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\binom{n}{r}\right|_{r=0}\\[9pt] &=H_n \end {align} $$