Un formulario cerrado para la suma$\frac{a}{b}+\frac{a\cdot(a+1)}{b\cdot(b+1)}+\frac{a\cdot(a+1)\cdot(a+2)}{b\cdot(b+1)\cdot(b+2)}+\cdots$

Question

Vi este video en YouTube en el que se calcula la suma $$\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1\cdot2}{3\cdot4\cdot5}+\frac{1\cdot2\cdot3}{3\cdot4\cdot5\cdot6}+\cdots=\frac16$$ luego se preguntan, como un reto para el espectador, ¿cuál es el valor de la suma $$\frac{17}{75\cdot76}+\frac{17\cdot18}{75\cdot76\cdot77}+\frac{17\cdot18\cdot19}{75\cdot76\cdot77\cdot78}+\cdots$$ Esto me puso a pensar acerca de una forma de generalizar este tipo de suma, es decir, cómo se puede calcular el valor de la suma $$\frac{a}{b}+\frac{a\cdot(a+1)}{b\cdot(b+1)}+\frac{a\cdot(a+1)\cdot(a+2)}{b\cdot(b+1)\cdot(b+2)}+\cdots$$ donde $a,b\in\mathbb{N}$ e $a\lt b$ . Podemos reescribir esta suma como $$\begin{align} \frac{(b-1)!}{(a-1)!}\sum_{n=0}^\infty\frac{(a+n)!}{(b+n)!} &=\frac{(b-1)!}{(a-1)!\cdot(b-a)!}\sum_{n=0}^\infty\frac{(a+n)!\cdot(b-a)!}{(b+n)!}\\ &=\frac{(b-1)!}{(a-1)!\cdot(b-a)!}\sum_{n=0}^\infty\frac1{\binom{b+n}{b-a}}\\ &=\frac{(b-1)!}{(a-1)!\cdot(b-a)!}\left(\sum_{n=b-a}^\infty\frac1{\binom{n}{b-a}}-\sum_{n=b-a}^{b-1}\frac1{\binom{n}{b-a}}\right)\\ \end{align}$$ Así que de esta forma se simplifica hasta el siguiente problema:

¿Cómo se puede evaluar la suma $$\sum_{n=k}^\infty \frac1{\binom{n}{k}}$$ para $k\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$ en forma cerrada?

Numéricamente parece que la solución es $$\boxed{\sum_{n=k}^\infty \frac1{\binom{n}{k}}=\frac{k}{k-1}}$$ lo que significaría que una forma cerrada para nuestros suma es $$\boxed{\frac{a}{b}+\frac{a\cdot(a+1)}{b\cdot(b+1)}+\frac{a\cdot(a+1)\cdot(a+2)}{b\cdot(b+1)\cdot(b+2)}+\cdots=\frac{(b-1)!}{(a-1)!\cdot(b-a)!}\left(\frac{b-a}{b-a-1}-\sum_{n=b-a}^{b-1}\frac1{\binom{n}{b-a}}\right)}$$ prueba esta solución para nuestro ejemplo se da $$\begin{align} \frac{17}{75\cdot76}+\frac{17\cdot18}{75\cdot76\cdot77}+\frac{17\cdot18\cdot19}{75\cdot76\cdot77\cdot78}+\cdots &=\frac1{75}\left(\frac{17}{76}+\frac{17\cdot18}{76\cdot77}+\frac{17\cdot18\cdot19}{76\cdot77\cdot78}+\cdots\right)\\ &=\frac1{75}\left(\frac{(76-1)!}{(17-1)!\cdot(76-17)!}\left(\frac{76-17}{76-17-1}-\sum_{n=76-17}^{76-1}\frac1{\binom{n}{76-17}}\right)\right)\\ &=114000634335804\left(\frac{59}{58}-\sum_{n=59}^{75}\frac1{\binom{n}{59}}\right)\\ &=114000634335804\left(\frac{59}{58}-\frac{1023230845711831}{1005887950021800}\right)\\ &=114000634335804\left(\frac1{29170750550632200}\right)\\ &=\frac{17}{4350}\\ \end{align}$$ lo que parece estar de acuerdo con la evaluación numérica, pero ¿cómo demostrar este resultado?

Edit: de hecho, Hay un mucho mejor la forma cerrada para este resultado como sigue $$\boxed{\frac{a}{b}+\frac{a\cdot(a+1)}{b\cdot(b+1)}+\frac{a\cdot(a+1)\cdot(a+2)}{b\cdot(b+1)\cdot(b+2)}+\cdots=\frac{a}{b-a-1}}$$ que se encuentra en el adaptador de respuestas.

Answer 1

Esta identidad es fácil de deducir una vez que notas que

PS

De esto se deduce que

PS

y mejor aún

PS

donde se espera que el binomio cancele cerca del comienzo de sus cálculos.

Answer 2

Euler es tu amigo. No es de Gauss función Hipergeométrica (definido por Euler, que tipo de Euler fue robada, no hay suficiente nombrado después de él):

$${}_2 F_{1}(a,b;c;z) = 1 + \frac{a b z}{c} + \frac{a(a+1) b(b+1) z^2}{c(c+1) 2!} + \frac{a(a+1)(a+2) b(b+1)(b+2) z^3}{c(c+1)(c+2) 3!} + \ldots $$

y se están preguntando sobre el valor de

$${}_2 F_{1}(a,1;c;1) - 1.$$

Pero no es la sencilla fórmula (debido a Euler)

$${}_2 F_{1}(a,b;c;1) = \frac{\Gamma(c) \Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a) \Gamma(c - b)}$$

Usted puede probar esto desde el más general de la representación integral $${}_2 F_{1}(a,b;c;z) = \frac{\Gamma(c) \Gamma(b)}{\Gamma(c-b) } \int^{1}_{0} t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1 - t z)^{-a} dz$$

que sigue ampliando el último término y la aplicación de Euler beta integral. En particular, utilizando propiedades básicas de la función Gamma encontrará que

$${}_2 F_{1}(a,1;c;1) - 1 = \frac{a}{c-a-1}$$

Por ejemplo, con $a = 17$, e $c = 76$, y luego dividiendo el resultado por $75$, se obtiene

$$\frac{17}{75 \cdot 76} + \frac{17 \cdot 18}{75 \cdot 76 \cdot 77} + \ldots = \frac{1}{75} \cdot \frac{17}{76 - 17 - 1} = \frac{17}{4350}.$$

Answer 3

La suma en cuestión se puede evaluar de manera bastante elemental de la siguiente manera $$ \begin{align} \frac{a}{b}+\frac{a\cdot(a+1)}{b\cdot(b+1)}+\frac{a\cdot(a+1)\cdot(a+2)}{b\cdot(b+1)\cdot(b+2)}+\cdots &=\frac{(b-1)!}{(a-1)!}\sum_{n=0}^\infty\frac{(a+n)!}{(b+n)!}\\ &=\frac{(b-1)!}{(a-1)!}\sum_{n=0}^\infty\frac1{(n+a+1)\cdots(n+b)}\\ &=\frac{(b-1)!}{(a-1)!}\sum_{n=0}^\infty\frac{\frac1{(n+a+1)(n+b)}}{(n+a+2)\cdots(n+b-1)}\\ &=\frac{(b-1)!}{(a-1)!}\sum_{n=0}^\infty\frac{\frac1{b-a-1}\left(\frac1{n+a+1}-\frac1{n+b}\right)}{(n+a+2)\cdots(n+b-1)}\\ &=\frac{(b-1)!}{(a-1)!\cdot(b-a-1)}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac1{(n+a+1)\cdots(n+b-1)}-\frac1{(n+a+2)\cdots(n+b)}\right)\\ &=\frac{(b-1)!}{(a-1)!\cdot(b-a-1)}\left(\frac1{(a+1)\cdots(b-1)}\right)\\ &=\frac{(b-1)!}{(a-1)!\cdot(b-a-1)}\left(\frac{a!}{(b-1)!}\right)\\ &=\boxed{\frac{a}{b-a-1}}\\ \end {align} $$

Además, utilizando los métodos que se encuentran en este documento, podemos probar el siguiente resultado adicional $$ \begin{align} \sum_{n=k}^\infty\frac1{\binom{n}{k}} &=\sum_{n=0}^\infty\frac1{\binom{n+k}{k}}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{n!\cdot k!}{(n+k)!}\\ &=k\sum_{n=0}^\infty\frac{n!\cdot (k-1)!}{(n+k)!}\\ &=k\sum_{n=0}^\infty B(n+1,k)\\ &=k\sum_{n=0}^\infty \int_0^1 t^n (1-t)^{k-1}\mathrm{d}t\\ &=k\int_0^1(1-t)^{k-1}\left(\sum_{n=0}^\infty t^n\right)\mathrm{d}t\\ &=k\int_0^1(1-t)^{k-2}\mathrm{d}t\\ &=\boxed{\frac{k}{k-1}}\\ \end {align} $$

Answer 4

Como ya se ha indicado en el comentario, este problema está relacionado con el Tanque alemán problema, a partir de la análisis de la cual obtenemos la fórmula más general $$ {{m - 1} \over m}\sum\limits_{j = 0}^n {{1 \over {\left( \matriz{ j + x \cr m \cr} \right)}}} = {1 \over {\left( \matriz{ x - 1 \cr m - 1 \cr} \right)}} - {1 \over {\left( \matriz{ n + x \cr m - 1 \cr} \right)}}\quad \left| \matriz{ \;m,n \in \mathbb Z \hfill \cr \;1 \le m,0 \le n \hfill \cr \,x \in \mathbb C \hfill \cr} \right. $$ que - es válido para el entero no negativo, $n$ y entero positivo $m$;
- para $n \to \infty$ converge para $2 \le m$;
- es válido para cualquier real o incluso complejas $x$ cuando el binomio se define a través de la Caída de Factorial.

La identidad anterior puede demostrarse por inducción en $n$. De hecho, la diferencia en $n$es $$ \eqalign{ & {{m - 1} \over m}\left( {\sum\limits_{j = 0}^n {{1 \over {\left( \matriz{ j + x \cr m \cr} \right)}} - \sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {{1 \over {\left( \matriz{ j + x \cr m \cr} \right)}}} } } \right) = {{m - 1} \over m}{1 \over {\left( \matriz{ n + x \cr m \cr} \right)}} = \cr & = {1 \over {\left( \matriz{ n + x - 1 \cr m - 1 \cr} \right)}} - {1 \over {\left( \matriz{ n + x \cr m - 1 \cr} \right)}} = - \,\Delta _{\n} {1 \over {\left( \matriz{ n + x - 1 \cr m - 1 \cr} \right)}} = \cr & = {{\left( \matriz{ n + x \cr m - 1 \cr} \right) - \left( \matriz{ n + x - 1 \cr m - 1 \cr} \right)} \over {\left( \matriz{ n + x - 1 \cr m - 1 \cr} \right)\left( \matriz{ n + x \cr m - 1 \cr} \right)}} = {{\left( \matriz{ n + x - 1 \cr m - 2 \cr} \right)} \over {\left( \matriz{ n + x - 1 \cr m - 1 \cr} \right)\left( \matriz{ n + x \cr m - 1 \cr} \right)}} \cr} $$ y continuando $$ \eqalign{ & {{m - 1} \over m}{1 \over {\left( \matriz{ n + x \cr m \cr} \right)}} = {{\left( \matriz{ n + x - 1 \cr m - 2 \cr} \right)} \over {\left( \matriz{ n + x - 1 \cr m - 1 \cr} \right)\left( \matriz{ n + x \cr m - 1 \cr} \right)}} \cr & {{m - 1} \over m} = {{\left( \matriz{ n + x \cr m \cr} \right)\left( \matriz{ n + x - 1 \cr m - 2 \cr} \right)} \over {\left( \matriz{ n + x - 1 \cr m - 1 \cr} \right)\left( \matriz{ n + x \cr m - 1 \cr} \right)}} = \cr & = {{\left( {m - 1} \right)!\a la izquierda( {m - 1} \right)!} \over {m!\a la izquierda( {m - 2} \right)!}}{{\left( {n + x} \right)^{\,\underline {\m\,} } \left( {n + x - 1} \right)^{\,\underline {\,m - 2\,} } } \over {\left( {n + x} \right)^{\,\underline {\,m - 1\,} } \left( {n + x - 1} \right)^{\,\underline {\,m - 1\,} } }} = \cr & = {{\left( {m - 1} \right)} \over m}{{\left( {n + x - m + 1} \right)} \over {\left( {n + x + 1 - m} \right)}} \cr} $$

Y que es verdad para $n=0$ $$ {{m - 1} \over m}{1 \over {\left( \matriz{ x \cr m \cr} \right)}} = {1 \over {\left( \matriz{ x - 1 \cr m - 1 \cr} \right)}} - {1 \over {\left( \matriz{ x \cr m - 1 \cr} \right)}} $$ viene en la misma forma que anteriormente.

En realidad, mucho más es cierto.
Si tomamos la expresión dada antes de la Diferencia Finita wrt $n$,
entonces, podemos aplicar el Antidifference, también llamado Indefinido Suma, por el que llegamos $$ \eqalign{ & {{m - 1} \over m}{1 \over {\left( \matriz{ n + x \cr m \cr} \right)}} = - \,\Delta _{\n} {1 \over {\left( \matriz{ n + x - 1 \cr m - 1 \cr} \right)}}\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad {{m - 1} \over m}\sum\nolimits_n {{1 \over {\left( \matriz{ n + x \cr m \cr} \right)}}} = {1 \over {\left( \matriz{ n + x - 1 \cr m - 1 \cr} \right)}} + c \cr} $$ Es posible demostrar que los pasos por los que se verificó la expresión para la diferencia por encima de se aplican también a la binomial, como se define a través de la función Gamma en ${\mathbb C}^2$.
Así que podemos escribir $$ \eqalign{ & {{w - 1} \over w}{1 \over {\left( \matriz{ z \cr w \cr} \right)}} = - \,\Delta _{\,z} {1 \over {\left( \matriz{ z - 1 \cr w - 1 \cr} \right)}}\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad {{w - 1} \over w}\sum\nolimits_ {\z\,} {{1 \over {\left( \matriz{ z \cr w \cr} \right)}}} = {1 \over {\left( \matriz{ z - 1 \cr w - 1 \cr} \right)}} + c\quad \,\left| \matriz{ \;w,z,c \in \mathbb C \hfill \cr \w \ne 0 \hfill \cr \;binomios \ne 0 \hfill \cr} \right. \cr} $$

Answer 5

Jugando con los símbolos de Pochhammer, también podríamos calcular la suma parcial $$S_p=\sum_{n=0}^p \frac{a (a+1)_n}{b (b+1)_n}$ $ y obtener $$ S_p = \ frac {a} {ba-1} - \ frac {\ Gamma (b)} {(ba-1) \ Gamma (a)} \ frac {(b + p +1) \ Gamma (a + p +2)} {\ Gamma (b + p +2)} $$