¿Es un automorfismo de un grupo finito interno cuando preserva la conjugación de elementos y subgrupos?

Question

Si $G$ es un grupo finito, y $\phi \in \operatorname{Aut}(G)$ es un automorfismo de $G$ que

1. envía cada elemento $g \in G$ a un conjugado de sí mismo, es decir, existe un $h_g \in G$ en función de $g$ tal que $\phi(g) = h_ggh_g^{-1}$ .

2. envía cada subgrupo $H \le G$ a un conjugado de sí mismo, es decir, existe un $h_H\in G$ en función de $H$ tal que $\phi(H) = h_HHh_H^{-1}$ .

Por supuesto, si $\phi$ est interior -es decir, hay un elemento $h_\phi$ dependiendo sólo de $\phi$ tal que $\phi(g) = h_\phi gh_\phi^{-1}$ para todos $g \in G$ -entonces $\phi$ satisface claramente 1. y 2. Me sorprendió descubrir que hay grupos finitos $G$ y los automorfismos no internos $\phi \in \operatorname{Aut}(G)$ para los que al menos una de las opciones 1. o 2. es válida.

¿Existen grupos finitos $G$ y los automorfismos $\phi\in\operatorname{Aut}(G)$ para los que se cumplen tanto 1. como 2., pero $\phi$ no es interior?

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Edición: Aquí hay un ejemplo de "1. pero no 2". Viene de GroupProps Aunque el lenguaje que se utiliza en él está un poco por encima de mis posibilidades, por lo que cualquier error al relatarlo es mío. Considere $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ y su grupo de automorfismo $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times$ . Escribiré elementos de $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\rtimes(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times$ como $(g,h)$ Por ejemplo $(4,5)$ . El automorfismo propuesto $\phi$ tiene $(g,1) \mapsto (g,1)$ , $(g,7)\mapsto(g,7)$ pero $(g,3)\mapsto(g+4,3)$ y $(g,5) \mapsto(g+4,5)$ .

No es difícil comprobar que $\phi$ es un automorfismo, así que lo dejaré para ti. También satisface 1.: $(2,1)$ conjugados $(g,3)$ a $(g+4,3)$ y $(1,1)$ conjugados $(g,5)$ a $(g+4,5)$ . Afirmo que no envía el subgrupo $(0,(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times)$ a un conjugado. Si lo hiciera, $(h,k)$ conjugados $(0,g)$ a $(h-g\cdot h,g)$ Así que $h$ debe ser $0$ o $4$ , ambas fijas bajo la multiplicación por $3$ o $5$ .

Answer 1

El siguiente script es un script GAP que debería identificar la existencia de dicho automorfismo $\varphi$ para un grupo determinado $G$ . Ten en cuenta que lo he hecho con prisas, por lo que no puedo garantizar que sea correcto.

SatisfiesCriteria := function(G)
    local A,phi,Conj,Subs,C,H;
    A := AutomorphismGroup(G);
    Conj := ConjugacyClasses(G);
    Subs := ConjugacyClassesSubgroups(G);
    for phi in A do
        # Is phi not inner?
        if IsInnerAutomorphism(phi) then
            continue;
        fi;

        # Is phi class-preserving?
        if ForAny(Conj, C -> not Image(phi,Representative(C)) in C) then
            continue;
        fi;

        # Is phi subgroup-class-preserving?
        if ForAny(Subs, H -> not Image(phi,Representative(H)) in H) then
            continue;
        fi;
        return phi;
    od;
    return fail;
end;

El script parece encontrar dicho automorfismo para SmallGroup(32,44) . En particular, este grupo es isomorfo al grupo finitamente presentado

<fp group of size 32 on the generators [ F1, F2, F3, F4, F5 ]>

con los relatores

[ F1^2, F2^-1*F1^-1*F2*F1*F4^-1, F3^-1*F1^-1*F3*F1*F5^-1, 
  F4^-1*F1^-1*F4*F1*F5^-1, F5^-1*F1^-1*F5*F1, F2^2*F5^-1, F3^-1*F2^-1*F3*F2, 
  F4^-1*F2^-1*F4*F2*F5^-1, F5^-1*F2^-1*F5*F2, F3^2, F4^-1*F3^-1*F4*F3, 
  F5^-1*F3^-1*F5*F3, F4^2*F5^-1, F5^-1*F4^-1*F5*F4, F5^2 ]

y el automorfismo viene dado por

[ F1, F2, F3, F4, F5 ] -> [ F1, F2*F4, F3, F4*F5, F5 ]

Nota El ejemplo de GroupProps que mencionas es SmallGroup(32,43) en GAP. Si dejamos de lado la condición de ser preservador de la clase de subgrupos, entonces el script anterior encuentra efectivamente un automorfismo no interno que es preservador de la clase, aunque no he comprobado si es el mismo.

Nota 2 : En Sobre grupos con un automorfismo exterior que preserva la clase de Brooksbank y Mizuhara, se dice lo siguiente:

En 1947, Wall demostró que, para cada número entero $m$ divisible por 8, el grupo lineal general $\operatorname{GL}(1,\mathbb{Z}/m)$ , de orden $m \cdot \varphi(m)$ tiene un automorfismo casi interno que no es interno interno [Wa]. Entre ellos se encuentra el ejemplo más pequeño de tales grupos, a saber $\operatorname{GL}(1,\mathbb{Z}/8)$ de orden $32$ . (En realidad hay dos grupos no isomorfos de orden $32$ que tiene esta propiedad).

Estos dos grupos no isomorfos serían entonces SmallGroup(32,43) y SmallGroup(32,44) .