Una prueba relacionada con el teorema fundamental del cálculo

Question

Deje $f$ ser continua en $\mathbb{R}$. Debido a la FTC I, sabemos que una función de la forma∗ $F(x) = \int_a^xf(t)\operatorname dt$ siempre es una antiderivada de $f(x)$. En este la pregunta que se va a investigar si todos los antiderivatives de $f(x)$ pueden ser expresadas en este formulario∗. Por simplicidad, vamos que nos suponga $f$ es no negativo $(i.e. ∀x ∈ \mathbb{R}, f(x) ≥ 0)$.

(a) Supongamos$\lim\limits _{A\rightarrow\infty}\int_0^Af(t)\operatorname dt$ o $\lim\limits _{A\rightarrow-\infty}\int_A^0f(t)\operatorname dt$ es finito, muestran que no hay una antiderivada $G(x)$ de $f(x)$ que hace igual no $\int_a^xf(t)\operatorname dt$ para cualquier un $\in \mathbb{R}$

(b)Suponga que $\lim\limits _{A\rightarrow\infty}\int_0^Af(t)\operatorname dt=\infty$ e $\lim\limits _{A\rightarrow-\infty}\int_A^0f(t)\operatorname dt=\infty$, show para cualquier antiderivada $G(x)$ de $f(x), ∃a ∈ \mathbb{R} \text{ s.t.} G(x) = \int_a^xf(t)\operatorname dt$

Sugerencia: Piense acerca de si antiderivatives de f(x) necesitan tener ceros.

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Lo que he probado hasta ahora:

Buscar por (a) y (b), es decir si $f$ es continua en $\mathbb{R}$ tenemos:

$(\lim\límites de _{Un\rightarrow\infty}\int_0^Af(t)\operatorname dt=\pm\infty \wedge \lim\límites de _{Un\rightarrow-\infty}\int_A^0f(t)\operatorname dt=\pm\infty )\leftrightarrow \forall G(x), ∃a ∈ R \text{ s.t.} G(x) = \int_a^xf(t)\operatorname dt$

(Esta es una versión más fuerte de la cuestión, ya que la negación de finito también incluyen $-\infty$, no estoy seguro de si esto es cierto, pero esto implica lo que la pregunta está pidiendo a probar)

Por supuesto, $f$ es no negativo, entonces no necesitamos considerar la $-\infty$ de los casos, sólo se mostrará el siguiente sería suficiente:

$(\lim\límites de _{Un\rightarrow\infty}\int_0^Af(t)\operatorname dt=\infty \wedge \lim\límites de _{Un\rightarrow-\infty}\int_A^0f(t)\operatorname dt=\infty )\leftrightarrow \forall G(x), ∃a ∈ R \text{ s.t.} G(x) = \int_a^xf(t)\operatorname dt$

No tengo la Intuición de por qué esto es cierto, al menos no es muy trivial para mí..

Así, en primer lugar he intentado romper en las definiciones de:

1.$\lim\limits _{A\rightarrow\infty}\int_0^Af(t)\operatorname dt=\pm\infty$

$\Leftrightarrow \forall N\in \mathbb{R},\exists M\in \mathbb{R} s.t. A>M\rightarrow(\int_0^Af(t)\operatorname dt>N\vee \int_0^Af(t)\operatorname dt<N)$

2.$\lim\limits _{A\rightarrow-\infty}\int_A^0f(t)\operatorname dt=\pm\infty$

$\Leftrightarrow \forall N\in \mathbb{R},\exists M\in \mathbb{R} s.t. A<M\rightarrow(\int_0^Af(t)\operatorname dt>N\vee \int_0^Af(t)\operatorname dt<N)$

3.$\forall G(x), ∃a ∈ R \text{ s.t.}G(x) = \int_a^xf(t)\operatorname dt$ (no estoy seguro acerca de esto)

$\Leftrightarrow\forall G(x), ∃a ∈ R \text{ s.t.}\forall n \in \mathbb{R}, \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0\text{ s.t. } \exists P\in \mathbb{P}$ s.t.

$( \text{$P$ is a partition of [a,n]} \wedge l(P)<\delta)\rightarrow|S(f(t),P)-G(n)|<\varepsilon$

Pero aquellos que no parece muy útil...¿por dónde debo empezar?

Cualquier ayuda o sugerencia o sugerencia se agradece.

Answer 1

Bien, en primer lugar, vamos a $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser algunos comntinuous función. Entonces, como se dijo, cada una de las funciones de la forma: $$G(x)=\int_a^xf(t)dt,$$ es una antiderivada de $f$. Deje $F(x)$ ser algunos antiderivada de $f$. Entonces, tenemos $F'(x)=f(x)$ por cada $x\in\mathbb{R}$. Por lo tanto, existe una constante $c_a\in\mathbb{R}$ tal forma que: $$F(x)=\int_a^xf(t)dt+c_a.$$ Inversamente, es evidente que una función de la forma $\int_a^xf(t)dt+c$ es un anti-derivado de la $f$. Así, hemos demostrado el siguiente:

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser una función continua. Entonces el conjunto: $$\mathcal{A}:=\left\{\int_a^xf(t)dt+c:a,c\in\mathbb{R}\right\}$$ contiene exactamente todos los anti-derivados de $f$.

En general, desde el $f(x)\geq0$, tenemos que: $$\int_0^xf(t)dt\geq0,\ \forall\ x>0,$$ y,del mismo modo: $$\int_x^0f(t)dt\geq0,\ \forall\ x<0.$$

También, desde la $f(x)\geq0$conseguimos que cualquier anti-derivado de la $f$ es cada vez mayor.

Para la primera pregunta, vamos, W. L. o.G. $$\lim_{x\to+\infty}\int_0^xf(t)dt=L<+\infty.$$ También, vamos a $$F(x):=\int_0^xf(t)dt.$$ Desde $F$ es un anti-derivado de la $f$, $F$ es el aumento de y: $$F(x)\leq L.$$

A partir de lo anterior, también tenemos que $L\geq0$. Entonces, la función de: $$G(x)=\int_0^xf(t)dt-L-1$$ es un anti-derivado de la $f$ con $G(x)\leq-1<0$ por cada $x>0$. Así, $G$ no tiene raíces, por lo tanto, no puede ser de la forma: $$\int_a^xf(t)dt,$$ desde cualquier función tiene al menos una raíz ($a$ es siempre una raíz).

Para la segunda pregunta, vamos a $G$ ser una antiderivada de $f$. A continuación, $G$ puede ser escrita en la forma: $$G(x)=\int_a^xf(t)dt+c.$$ Ahora podemos hacer el siguiente truco: $$G(x)=\int_a^xf(t)dt+c=\int_0^xf(t)dt+\underbrace{\int_a^0f(t)dt+c}_{C}=\int_0^xf(t)dt+C.$$

Ahora, los dos supuestos implican que: $$\lim_{x\to+\infty}G(x)=+\infty\text{ and }\lim_{x\to-\infty}G(x)=-\infty,$$ y, desde $G$ es continua, tenemos que $G(\mathbb{R})=\mathbb{R}.$ Particular, esto implica que existe una $x_0\in\mathbb{R}$ tal que $G(x_0)=0$, o, de manera equivalente: $$\int_0^{x_0}f(t)dt+C=0\Leftrightarrow C=\int_{x_0}^0f(t)dt.$$ Por lo tanto, tenemos: $$G(x)=\int_0^xf(t)dt+\int_{x_0}^0f(t)dt=\int_{x_0}^xf(t)dt,$$ que era nuestro objetivo.