Pentágono equilátero en una red plana

Question

Sé que un pentágono regular no se puede colocar en una red.

¿Es eso también cierto para los pentágonos equiláteros?

Answer 1

Reclamo: Para cualquier extraño $n > 2$, no es equilátero $n$-gon tal que sus vértices se encuentran en la red de puntos de un cuadrado de celosía.

Prueba:

Supongamos que no es cierto. Elegir un equilátero $n$-gon que encaja en la 2D entero entramado de tal forma que su lado de la longitud de $s > 0$ es tan pequeño como sea posible.

El Color de todos los puntos de la cuadrícula de color rojo y azul en un patrón de tablero de ajedrez.

Ahora para cualquier lado $AB = (x,y)$ de la equilátero $n$-gon, sabemos que $x^2+y^2 = s^2$, lo $s^2$ es un número entero. Si $s^2$ es impar, entonces $x$ e $y$ debe tener diferentes partidos, por lo $A$ e $B$ debe tener colores diferentes. Si $s^2$ es incluso, a continuación, $x$ e $y$ debe tener la misma paridad, por lo $A$ e $B$ debe tener el mismo color.

Ahora tenemos dos casos:

Caso 1: $s^2$ es incluso.

A continuación, todos los vértices de la $n$-gon tienen el mismo color. Pero todos los vértices del mismo color para formar otro cuadrado de la cuadrícula, por lo que la rotación de la $n$-gon por $45^\circ$ alrededor de uno de sus vértices y escalado por un factor de $\sqrt{2}$ alrededor de ese vértice, el resultado será una nueva equilátero $n$-gon con menor longitud lateral que todavía le queda en la red. Pero eso es una contradicción a nuestra selección de $n$-gon (queríamos que el más pequeño de los laterales de longitud).

Caso 2: $s^2$ es impar.

Entonces los vértices de nuestro $n$-gon debe ser de color alternativamente en rojo y azul. Pero espera, $n$ es extraño! Un colorante es imposible! No siempre iba a estar dos días consecutivos de color rojo o azul vértices.

Conclusión:en Ambos casos el resultado en una contradicción, lo que significa que nuestra suposición es falsa, por lo tanto la demanda se demuestra. Para $n=5$, esto significa que no hay pentágono equilátero con vértices de un cuadrado de celosía.

Triangular de celosías de juego justo, aunque:

Aquí está uno sin $180^\circ$ ángulos:

Answer 2

Pruebe algo como esto: cada pentágono es esencialmente un cuadrado y un triángulo equilátero pegado, por lo que los cinco bordes tienen la misma longitud

Habrá otras posibilidades