¿Cómo simplificar$B=\sqrt{3} \tan 70^{\circ}- 4 \sin 70^{\circ}+1$?

Question

Mi situación es la siguiente. Puede que la expresión de abajo se simplifica utilizando el concepto de pre-cálculo (es decir, a través de la mano de cálculo) sin necesidad de una calculadora?

$$B=\sqrt{3} \tan 70^{\circ}- 4 \sin 70^{\circ}+1$$

Lo que intentó hacer fue dividir las funciones en una suma de $30^{\circ}+40^{\circ}$ desde las expresiones trigonométricas para $30^{\circ}$ es 'conocido'.

Por ir en esa ruta, me fui a través de este, como se muestra a continuación:

$\sqrt{3} \tan\left(30+40\right)-4\sin\left(30+40\right)+1$

$\sqrt{3}\left(\frac{\tan(30)+\tan(40)}{1-\tan(30)\tan(40)}\right)-4(\sin(30)\cos(40)+\cos(30)\sin(40)+1$

$\sqrt{3}\left(\frac{\frac{1}{\sqrt 3}+\tan(40)}{1-\frac{1}{\sqrt 3}\tan(40)}\right)-4\left(\frac{1}{2}\cos(40)+\frac{\sqrt 3}{2}\sin(40)\right)+1$

$\sqrt{3}\left(\frac{1+\sqrt 3\tan(40)}{\sqrt 3-\tan(40)}\right)-2\cos(40)-2\sqrt {3} \sin(40)+1$

$\frac{\sqrt 3 + 3\frac{\sin(40)}{\cos(40)}}{\sqrt 3-\frac{\sin(40)}{\cos(40)}}-2\cos(40)-2\sqrt {3} \sin(40)+1$

$\frac{\sqrt 3 \cos (40) + 3 \sin(40)}{\sqrt 3 \cos (40)-\sin(40)}-2\cos(40)-2\sqrt {3} \sin(40)+1$

Luego multiplicando por $\sqrt 3 \cos (40)-\sin(40)$

$\frac{\sqrt 3 \cos (40) + 3 \sin(40)-2\sqrt 3\cos^2(40)+2\sin(40)\cos(40)-6\sin(40)\cos(40)+2\sqrt{3}\sin^2(40)+\sqrt 3 \cos (40)-\sin(40)}{\sqrt 3 \cos (40)-\sin(40)}$

$\frac{2\sqrt 3 \cos (40) + 2 \sin(40)-2\sqrt 3\cos(80)-2\sin(80)}{\sqrt 3 \cos (40)-\sin(40)}$

Ahora dividiendo por $4$ en el numerador:

$\frac{\frac{\sqrt 3}{2} \cos (40) + \frac{1}{2} \sin(40)-\frac{\sqrt 3}{2}\cos(80)-\frac{1}{2}\sin(80)}{(\frac{1}{4})\sqrt 3 \cos (40)-(\frac{1}{4})\sin(40)}$

$\frac{\frac{\sqrt 3}{2} \cos (40) + \frac{1}{2} \sin(40)-\frac{\sqrt 3}{2}\cos(80)-\frac{1}{2}\sin(80)}{(\frac{1}{4})\sqrt 3 \cos (40)-(\frac{1}{4})\sin(40)}$

$\frac{\sin 60 \cos (40) + \cos 60 \sin(40)-\sin 60\cos(80)-\cos 60\sin(80)}{(\frac{1}{2})\left((\frac{1}{2})\sqrt 3 \cos (40)-(\frac{1}{2})\sin(40)\right)}$

$\frac{\sin 60 \cos (40) + \cos 60 \sin(40)-\sin 60\cos(80)-\cos 60\sin(80)}{(\frac{1}{2})\left(\sin 60 \cos (40)-\cos 60\sin(40)\right)}$

$\frac{\sin 100-\sin 140}{(\frac{1}{2})\left(\sin 20\right)}$

El uso de prosthaphaeresis identidades:

$\frac{\sin 80-\sin 40}{(\frac{1}{2})\left(\sin 20\right)}$

$\frac{2\cos 60 \sin 20 }{(\frac{1}{2})\left(\sin 20\right)}$

Finalmente...

$\frac{2\left(\frac{1}{2}\right) \sin 20 }{(\frac{1}{2})\left(\sin 20\right)}$

Por lo tanto, la respuesta es:

$$B = 2$$

Hasta ahora esta es la respuesta que me dieron, y parece que consulte con lo que la calculadora dice que es.

Pero no estoy seguro de si este es un método adecuado tampoco existen en una manera mejor de simplificar o facilitar los cálculos. Puede alguien me ayuda con un fácil y rápido procedimiento? Si es posible, sin geometría.

Answer 1

Su error: en Lugar de cancelar un factor de $4$, que es, igualmente dividiendo por $4$ en el numerador y el denominador, se multiplica por $4$ en el denominador. Esto es dos veces el error, primero que faltan para dividir y, a continuación, multiplicar, y los resultados en un mal factor adicional $\frac1{4^2}$ para la fracción a partir de entonces. Y, de hecho, $16\cdot\frac18$ da el resultado correcto $2$.

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Utilizando identidades trigonométricas y trigonométricas. valores en $30°$ se obtiene en un corto cálculo de dejar el denominador de la misma: \begin{align} \frac12B\cos{(70^∘)}&=\cos{(30^∘)}\sin{(70^∘)}+\sin{(30^∘)}\cos{(70^∘)}-2\sin{(70^∘)}\cos{(70^∘)} \\ &=\sin{(100^∘)}-\sin{(140^∘)} \\ &=\sin{(80^∘)}-\sin{(40^∘)} \\ &=2\cos{(60^∘)}\sin{(20^∘)} \\ &=2\cos{(60^∘)}\cos{(70^∘)} \end{align} de modo que al final $$ B=4\cos{(60^∘)}=2 $$

Answer 2

Considere el triángulo isósceles de la Figura de abajo. Deje $\overline{AB} = 2\sqrt 3$ e $\angle CAB = \angle CBA = 70°$. $CH$ es la altitud y $\angle DAB =30°$.

Entonces usted tiene $\overline{AD} = 2$ e $\overline{DH} = 1$.

Sorteo de $D$ la línea paralela a $AB$ que reúne $AC$ en $E$. También tome $F$ a $CE$ , de modo que $\angle FDE = 70°$.

$\triangle ADF$ es isósceles, por lo $\overline{DF} = 2$.

$\triangle DEF$ es isósceles lo $\overline{EF} = 2$.

$\triangle DFC$ es isósceles lo $\overline{FC} = 2$.

$\overline{CE} = 4$, y, a continuación, $\overline{CD} = 4\sin 70°$.

Su expresión viene de la relación

$$\overline{CH} = \overline{CD}+\overline{DH},$$

que es

$$\sqrt 3 \tan 70° = 4\sin 70°+1.$$

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Voy a revisar tus pasos desde aquí (a este paso everyhing es correcta):

\begin{eqnarray} B&=& \frac{2\sqrt 3 \cos (40) + 2 \sin(40)-2\sqrt 3\cos(80)-2\sin(80)}{\sqrt 3 \cos (40)-\sin(40)}=\\ &=& \frac{4\left[\frac{\sqrt 3}2 \cos (40) + \frac12 \sin(40)-\frac{\sqrt 3}2\cos(80)-\frac12\sin(80)\right]}{2 \left[\frac{\sqrt 3}2 \cos (40)-\frac12\sin(40)\right]}=\\ &=&2\frac{\sin (100) -\sin (140)}{\sin(20)}. \end{eqnarray} Entonces todo vuelve a ser la correcta, creo.