El ingrediente clave es el siguiente teorema de Ulam:
Teorema: Vamos a $\mu$ ser un número finito de medida definidos en el todo el poder de establecer $P(\omega_1)$ que se desvanece en los embarazos únicos. A continuación, $\mu=0$.
En particular, podemos aplicar esto a su configuración como sigue.
Corolario: Vamos a $\nu$ ser un Borel medida de probabilidad en $\omega_1$ que se desvanece en los embarazos únicos, y supongamos $U\subset\omega_1$ puede ser escrito como una discontinuo de la unión de limitada abrir sets. A continuación, $\nu(U)=0$.
La prueba del Corolario del Teorema: Supongamos $U=\bigcup_{\alpha<\omega_1} U_\alpha$ donde la $U_\alpha$ son distintos, delimitada y abierto. Definir una medida $\mu$ a $P(\omega_1)$ por $\mu(A)=\nu(\bigcup_{\alpha\in A} U_\alpha)$ (esto está bien definido, ya que dicha unión está siempre abierta y medir desde la $U_\alpha$ son disjuntas). A continuación, $\mu$ se desvanece en los embarazos únicos ya que cada una de las $U_\alpha$ está acotada. Por lo tanto, por el Teorema de, $\mu=0$, y, en particular, $\nu(U)=\mu(\omega_1)=0$.
Ahora a probar su Lema, vamos a $K\subset\omega_1$ ser cualquier cerrados conjunto ilimitado y deje $U=\omega_1\setminus K$. La enumeración de los elementos de $K$ en orden como $(c_\alpha)_{\alpha<\omega_1}$, entonces podemos partición $U$ en el delimitada abrir conjuntos de $[0,c_0)$ e $(c_\alpha,c_{\alpha+1})$ como $\alpha$ rangos de todos los de $\omega_1$. Por lo tanto, por el Corolario, $\nu(U)=0$ e lo $\nu(K)=1$.
Por último, aquí es una prueba del Teorema. Supongamos $\mu$ es distinto de cero. Para cada una de las $\alpha<\omega_1$, vamos a $f_\alpha:\alpha\to\omega$ inyección. Para $\beta<\omega_1$ e $n<\omega$, vamos a $A_{\beta,n}=\{\alpha:f_\alpha(\beta)=n\}$. Tenga en cuenta que fija $\beta$, $\bigcup_n A_{\beta,n}=\omega_1\setminus(\beta+1)$ (desde $f_\alpha(\beta)$ se define como el tiempo $\alpha>\beta$), que tiene plena medida desde $\mu$ se desvanece contable de conjuntos. Por tanto, para cada $\beta$ hay algo de $n$ tal que $A_{\beta,n}$ tiene medida positiva. Ya que hay una cantidad no numerable de $\beta$'s y sólo countably muchos $n$'s, entonces debe ser algo fijo $n$ tal que $A_{\beta,n}$ tiene medida positiva para una cantidad no numerable de diferentes $\beta$. Pero fijo $n$, los conjuntos de $A_{\beta,n}$ son distintos debido a que las funciones $f_\alpha$ son inyectiva. Desde un finito medida puede tener un sinnúmero de familia de conjuntos disjuntos de medida positiva, esto es una contradicción.
