$$\int_0^6 |x^2 - 6x +8| dx =$$ Sé que la respuesta a este problema es $\frac{44}3$ . Pero, ¿cómo se consigue? ¿Cómo cambia la solución en función del valor absoluto? Sin el valor absoluto obtuve una respuesta de 12 - encontré la antiderivada: $\frac{x^3}3-3x^2+8x$ . Entonces lo resolví y obtuve 12. Sin embargo, esta no es la respuesta al problema anterior. ¿Qué debería hacer?
El valor absoluto es una función con la que es muy difícil trabajar directamente. Pero hay una manera fácil de tratar con él:
$$ |y|=\begin{cases} y &\text{if }y\geq0\\ -y &\text{if }y\leq0\end{cases} $$
Así que tu primer paso es encontrar dónde el término dentro del valor absoluto es positivo y dónde negativo. Luego divides la integral en trozos.
Si $f(x)>0$ en un intervalo, entonces $|f(x)|=f(x)$ en ese intervalo. Si $f(x)<0$ en un intervalo, entonces $|f(x)|=-f(x)$ en ese intervalo. Esa es básicamente la definición real de la función de valor absoluto .
En el intervalo $[2,4]$ , $x^2-6x+8<0$ . En todo lo demás es positivo. Por lo tanto, su integral original es equivalente a la suma de las siguientes tres integrales:
$$ \int_{0}^{2}(x^2-6x+8)\,dx+\int_{2}^{4}\left[-(x^2-6x+8)\right]\,dx+\int_{4}^{6}(x^2-6x+8)\,dx. $$
En $x = 2$ y $x = 4$ , $f(x) = 0$ . No es inferior a $0$ . Su definición de valor absoluto no tiene en cuenta lo que ocurre cuando $f(x) = 0$ .
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Intenta representar gráficamente la función y observa dónde toma valores positivos/negativos. Por ejemplo, empieza por comprobar las raíces.