En la ecuación de Schrödinger, ¿puedo tener un Hamiltoniano sin término cinético?

Question

Para averiguar los estados estacionarios del Hamiltoniano, encontraremos los valores propios y los estados propios. ¿Hay alguna condición que la forma del Hamiltoniano debe ser como, $$\hat{H}=\hat{T}(\hat{p})+\hat{V}(\hat{x}).$$ Me refiero a la suma de los términos operador cinético y operador potencial. Puedo tener Hamiltonian sin un término cinético, $$\hat{H}=\hat{x}^{2}$$ ¿o en otras palabras? ¿Puedo tener un Hamiltoniano sólo con el término potencial? $$\hat{H}=\hat{V}(\hat{x}).$$

¿Lo permite la mecánica cuántica?

Answer 1

En principio, el Hamiltoniano representa la energía de un sistema. Que quieras o no modelar tu sistema para que tenga energía cinética depende de ti y de lo que necesites. Por ejemplo: considere un átomo con un electrón que se puede aproximar como un sistema de dos niveles (es decir, como sólo su estado básico y un estado excitado).

El estado básico $|g\rangle$ tiene algo de energía $E_0$ y el estado excitado $|e\rangle$ tiene algo de energía $E_0+\Delta E$ siempre eres libre de elegir la energía del estado base como quieras, así que elige $E_0=-\frac{\Delta E}{2}$ y tienes el Hamiltoniano de tu sistema

$$H=\frac{\Delta E}{2}\left(|e\rangle\langle e|-|g\rangle\langle g|\right)=\frac{\Delta E}{2}\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}=-\frac{\Delta E}{2}\sigma_z $$

con $\sigma_z$ la matriz de Pauli. Este es un Hamiltoniano perfectamente válido (aunque un poco aburrido) que no tiene término cinético, básicamente, has decidido que realmente no te importa la energía cinética del átomo, te interesa el estado del electrón. En la respuesta de Paradoxy se dan Hamiltonianos más interesantes que no modelan grados de libertad cinéticos.

Y como nota, un Hamiltoniano no es más que un operador hermitiano acotado por debajo. No hay, en principio, ningún otro requisito. Se puede tomar cualquier operador hermitiano acotado por debajo y empezar a resolver la ecuación de Schrödinger. Por supuesto, si esto tiene o no algún significado físico es otra historia.

Answer 2

La más sencilla que se me ocurre es $$H=j\sum_{<ij>} \sigma_{i}\sigma_j$$ El Hamiltoniano del modelo de ising. (También lo utilizan en la ecuación de Schrödinger a veces con cálculos numéricos) https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ising_model

O como se dice en los comentarios de @rnels12 Hamiltoniano del modelo de Heisenberg $$H=j\sum_{<ij>} \sigma_{i}.\sigma_j-h\sum_i \sigma_i$$

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_model_(quantum)

Edición: No estoy seguro de por qué me han votado en contra, pero intentaba decir que QM sí lo permite. De hecho, cuando no te importa el movimiento de tus partículas o su movimiento es relativamente pequeño, puedes eliminar el término de energía cinética para hacer el Hamiltoniano aún más fácil. Y si te preocupa el principio de incertidumbre o algo así, no habrá ningún problema si calculas la función de onda y luego las varianzas. Porque después de todo despreciar el término cinético no es igual a asumir momento cero.

Edito 2: Gracias a @d_b he entendido que el primer término del hamiltoniano de la mariposa de hofstadter es la versión lattice de un término cinético, aunque no está claro $\frac{\hat{p}^2}{2m}$ en el límite continuo se convierte en uno.

Answer 3

Al estudiar el efecto Hall cuántico, es habitual suponer que todas las partículas tienen la misma energía cinética (a veces se describe esto diciendo que la energía cinética está "apagada"). La suposición es razonable cuando todas las partículas ocupan un único Nivel Landau y el espacio de energía entre los niveles de Landau (la energía del ciclotrón) es grande en relación con otras escalas de energía del problema. En este caso, la energía cinética sólo da un desplazamiento constante en el espectro de energía, por lo que podemos ignorarla y considerar un hamiltoniano con sólo un término de interacción (proyectado a un nivel de Landau), $H = PVP$ .