Este es un ejemplo de "prueba por la notación", que es donde el uso de símbolos para denotar conceptos de tal manera que una reclamación es simplemente caer de cómo los objetos están representados. De una manera más directa la prueba mediante la notación de esta afirmación sería "Dado $aH$ e $bH$, vamos a $abH$ ser el coset generado por $ab$ e $H$. Me acaba de definir $abH$, por lo que claramente $abH$ está bien definido". Eso es claramente una falacia. En su prueba, la falacia no es tan evidente, pero es el mismo principio básico. Escribe $aHbH=(cH)(dH)$ = $cHdH$, pero, ¿eso qué significa? Usted debe confiar en implícitamente la comprensión de lo que "dos cosas junto a cada uno de los otros medios": después de años de clases de matemáticas, que se habitúe a $(a)(b)$ e $ab$ , tanto en representación de la misma cosa, es decir, $a$ multiplicado por $b$, pero do $(aH)(bH)$ e $aHbH$ ambos representan "multiplicación", y ¿qué significa la "multiplicación" significa? Recuerde, "$aH$" e $bH$" representan conjuntos. ¿Qué significa para multiplicar a los conjuntos de cada uno de los otros?
La notación $aH$ depende de una comprensión básica de cosets y es la abreviatura para el más complicado de la notación $\{ah: h\in H\}$. Una vez que usted tiene una comprensión sólida de cosets, usted puede ser capaz de trabajar con estos shorthands, pero esta pregunta le pide a demostrar una propiedad básica de cosets, por lo que el uso de un de alto nivel de la taquigrafía es un poco inapropiado. La falacia debería ser más claro si prescindir de esta abreviatura. En lugar de escribir $aH$, tenemos $\{ah: h\in H\}$. En lugar de $bH$, tenemos $\{bh: h\in H\}$. Y así sucesivamente. En lugar de $aHbH$, tenemos $\{ah_1bh_2: h_1,h_2 \in H \}$. Y en lugar de $aH=cH,bH=dH$, tenemos $\exists h_3,h_4 \in H:c=ah_3, d = bh_4$. Ahora la afirmación de que $aHbH=cHdH$ se expande a la afirmación de que $\{ah_1bh_2: h_1,h_2 \in H \} = \{(ah_3)h_1(bh_4)h_2: h_1,h_2 \in H \}$. Y que, a su vez, es equivalente a $\forall h_1,h_2 \in H, \exists h_1' ,h_2'\in H:ah_1bh_2=(ah_3)h_1'(bh_3)h_2'$.
Es decir, cuando usted dice $aHbH=(cH)(dH)$, se está invocando todo el complicado declaración de $\forall h_1,h_2 \in H, \exists h_1' ,h_2'\in H:ah_1bh_2=(ah_3)h_1'(bh_3)h_2'$, y decir "Bueno, he escrito esta afirmación en una forma que hace que se vea como es obviamente cierto, así que voy a tomar como verdadero".
El problema con la simple sustitución de una expresión por otra, que el $aHbH$ no se define directamente en términos de $aH$ e $bH$. Tenemos $aHbH :=\{ah_1bh_2: h_1,h_2 \in H \}$, lo $aHbH$ se define en términos de $a$ e $b$. Así que el hecho de $cH=aH$, eso no quiere decir que la sustitución de $cH$ en de $aH$ le dan el mismo resultado: cuando reemplace $a$ con $c$ en la fórmula $\{ah_1bh_2: h_1,h_2 \in H \}$, no está garantizado para conseguir la misma respuesta.
Supongamos que tenemos una operación $*$ sobre las fracciones que dijo "el numerador del resultado es la suma de la entrada de los numeradores y el denominador es la suma de la entrada denominadores". A continuación, $\frac 1 2 = \frac 2 4$, pero $\frac 1 2 * \frac 1 3 \neq \frac 2 4 * \frac 1 3$. Esto demuestra que $*$ no está bien definida sobre los números racionales, porque se ve que no a la fracción como un todo, pero cada una de las piezas de su representación. Del mismo modo, para los no-normal subgrupos, $aHbH$ no está bien definida, ya que no se define en términos de la cosets como un todo, sino más bien en términos de las partes individuales de su representación ($a$ e $b$). Una vez que se define una operación en términos de la representación de un objeto, si el objeto tiene más de una presentación, no está garantizado para tener una bien definida la operación.
