¿Son algunas integrales indefinidas imposibles de calcular o simplemente no existen?

Question

Hace relativamente poco que empecé a trabajar con integrales y estoy muy sorprendido de que sean mucho más difíciles de calcular que las derivadas. Por ejemplo, para algo tan aparentemente sencillo como $\int e^{ \cos x} dx $ es imposible, ¿verdad? No puedo usar u-sub ya que no hay $-\sin(x)$ multiplicando la función, también la integración por partes parece que no funcionaría, ¿correcto? ¿Significa esto que esta integral es imposible de calcular?

Answer 1

La integral indefinida de una función continua siempre existe. Puede que no exista en "forma cerrada", es decir, que no sea posible escribirla como una expresión finita utilizando funciones "conocidas". El concepto de "forma cerrada" es algo vago, ya que no hay una lista definida de qué funciones son "conocidas". Una afirmación más precisa es que hay funciones elementales cuyas integrales indefinidas no son elementales. Por ejemplo, la integral indefinida $\int e^{x^2}\; dx$ no es una función elemental, aunque puede expresarse en términos de una función especial no elemental como $\frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erfi}(x)$ .

Su ejemplo $\int e^{\cos(x)}\; dx$ también es no elemental. Esto se puede demostrar utilizando el Algoritmo Risch . Este tampoco parece tener ninguna forma cerrada no elemental.

Answer 2

Usted está haciendo varias preguntas diferentes aquí, ya que existencia , computabilidad y tener un forma cerrada son aspectos distintos de las funciones e integrales. Para demostrarlo, vamos a embarcarnos en un viaje para hacer la función más desagradable que podamos. Es interesante e importante reconocer la distinción entre los distintos términos y los casos patológicos son una buena forma de diferenciarlos.

Todas las funciones que habrás encontrado hasta el bachillerato han forma cerrada integrales. Esto significa que podemos escribir limpiamente su integral utilizando otras funciones "simples". Esto incluye funciones trigonométricas, exponenciales y polinomios; por ejemplo $\int \frac12x^2+2\ \mathrm{d}x=\frac{1}{6}x^3+2x+C$ .

Sin embargo, podemos demostrar que algunas funciones de aspecto simple no tienen una integral de forma cerrada. Como señalan las otras respuestas, es imposible escribir $\int e^{-x^2}\ \mathrm{d}x$ utilizando funciones sencillas, pero aún podemos computa el valor numérico de la integral: $\int_0^1e^{-x^2}\ \mathrm{d}x\approx0.747$ . Está claro que nuestra función no es lo suficientemente desagradable todavía.

No siempre podemos calcular el valor de algunas funciones o incluso de algunos números. Hay algunos números no computables que, a pesar de existir, no se pueden encontrar numéricamente; es imposible saber cuál es su valor. Los más famosos son Constantes de Chaitin , . Así que, echemos uno en la mezcla. Con $\int_0^1e^{-x^2}+\Omega\ \mathrm{d}x$ no sólo es imposible escribir la función en una forma cerrada, sino que ahora ni siquiera podemos calcular su valor. Bastante desagradable, pero ¿podemos ir a peor?

Con esa última integral, no pudimos encontrar su valor pero sí tienen un valor. ¿Podemos hacer una función en la que sea imposible siquiera integrarla? El Función Dirichlet , $I_\mathbb{Q}(x)$ gestiona esto. Es igual a $1$ en los números racionales pero $0$ en todos los demás lugares. Esencialmente, el $0$ y $1$ están demasiado cerca el uno del otro para que podamos distinguirlos, así que no se puede integrar.

Hay muchas otras maneras de describir las funciones y acotar aún más las cualidades que hemos enumerado con diferentes tipos de integración, computabilidad y formas cerradas.

Answer 3

Esa integral en particular es bastante fácil de calcular numéricamente con la precisión que desee.

También podrías encontrar una solución en serie. $e^{\cos x}$ es una serie de potencias en $\cos x$ y las integrales de potencias de $\cos x$ son bien conocidas. Demostrar la convergencia es sencillo, ya que $\cos x$ es periódica, sólo hay que considerar el intervalo $[0, 2\pi]$ .